- 数学C｜空間ベクトル「直径の両端が条件の球面の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜直径の両端が条件の球面の方程式
空間ベクトル 42直径の両端が \( {\rm A}(2~,~ -1~,~ 3)~,~\)\({\rm B}(4~,~ -5~,~ -1) \) である球面の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
直径の両端が条件の球面の方程式
Point：直径の両端が条件の球面の方程式
① 直径の両端の点を結ぶ線分の中点が中心となる。
線分 \( {\rm AB} \) の中点 \( = \) 中心 \( (a~,~b~,~c) \)
② 中心と両端のどちらか一方の点までの距離が半径となる。
中心と点 \( {\rm A} \) との距離 \( = \) 半径 \( r \)
③ 中心の座標と半径より、球面の方程式を求める。
\( (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \)
直径の両端の点の座標から、球面の方程式を求める方法は、
① 直径の両端の点を結ぶ線分の中点が中心となる。
線分 \( {\rm AB} \) の中点 \( = \) 中心 \( (a~,~b~,~c) \)
② 中心と両端のどちらか一方の点までの距離が半径となる。
中心と点 \( {\rm A} \) との距離 \( = \) 半径 \( r \)
③ 中心の座標と半径より、球面の方程式を求める。
\( (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \)
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詳しい解説｜直径の両端が条件の球面の方程式
空間ベクトル 42
直径の両端が \( {\rm A}(2~,~ -1~,~ 3)~,~\)\({\rm B}(4~,~ -5~,~ -1) \) である球面の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
2点 \( {\rm A}~,~{\rm B} \) を結ぶ線分 \( {\rm AB} \) の中点の座標は、
\( x \) 座標が、\( \displaystyle \frac{\,2+4\,}{\,2\,}=\frac{\,6\,}{\,2\,}=3 \)
\( y \) 座標が、\( \displaystyle \frac{\,-1-5\,}{\,2\,}=\frac{\,-6\,}{\,2\,}=-3 \)
\( z \) 座標が、\( \displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,2\,}=\frac{\,2\,}{\,2\,}=1 \)
よって、中心の座標が \( (3~,~-3~,~1) \) となる
また、この中心と点 \( {\rm A}(2~,~-1~,~3) \) との距離が半径 \( r \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{(3-2)^2+\left\{(-3)-(-1)\right\}^2+(1-3)^2}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+4+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9}=3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+4+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9}=3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、球面の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+\left\{y-(-3)\right\}^2+(z-1)^2&=&3^2
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y+3)^2+(z-1)^2&=&9\end{eqnarray}\)
