- 数学C｜空間ベクトル「球が座標平面で切り取られる円」の基本例題解説ページです。
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問題｜球が座標平面で切り取られる円
空間ベクトル 43球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) が各座標平面によって切り取られる円の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
球が座標平面で切り取られる円
Point：球が座標平面で切り取られる円
\( (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \)
① 切り取る座標平面の方程式を球面の方程式に代入する。
\( xy \) 平面のとき、\( z=0 \)
\( yz \) 平面のとき、\( x=0 \)
\( zx \) 平面のとき、\( y=0 \)
② 代入した式を計算し、円の方程式とする。
\( xy \) 平面のとき \( z=0 \) を代入すると、
\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2~,~z=0 \)
\( xy \) 平面上で、中心 \( (a~,~b~,~0) \)、
半径 \( \sqrt{\,r^2-c^2\,} \) の円
球面が座標平面で切り取られる円の方程式の求め方は、
\( (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \)
① 切り取る座標平面の方程式を球面の方程式に代入する。
\( xy \) 平面のとき、\( z=0 \)
\( yz \) 平面のとき、\( x=0 \)
\( zx \) 平面のとき、\( y=0 \)
② 代入した式を計算し、円の方程式とする。
\( xy \) 平面のとき \( z=0 \) を代入すると、
\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2~,~z=0 \)
\( xy \) 平面上で、中心 \( (a~,~b~,~0) \)、
半径 \( \sqrt{\,r^2-c^2\,} \) の円
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詳しい解説｜球が座標平面で切り取られる円
空間ベクトル 43
球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) が各座標平面によって切り取られる円の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
球面の方程式
\( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
において、
\( xy \) 平面で切り取られる円の方程式は、\( xy \) 平面は方程式 \( z=0 \) と表されるので、
\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+(y+1)^2+(0-3)^2&=&10
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y+1)^2+9&=&10
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y+1)^2&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\( (x-2)^2+(y+1)^2=1~,~z=0 \) となり、
\( xy \) 平面上で、点 \( (2~,~-1~,~0) \) が中心、半径 \( 1 \) の円となる
\( yz \) 平面で切り取られる円の方程式は、\( yz \) 平面は方程式 \( x=0 \) と表されるので、
\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(0-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2&=&10\\[3pt]~~~4+(y+1)^2+(z-3)^2&=&10
\\[3pt]~~~(y+1)^2+(z-3)^2&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、\( (y+1)^2+(z-3)^2=6~,~x=0 \) となり、
\( yz \) 平面上で、点 \( (0~,~-1~,~3) \) が中心、半径 \( \sqrt{6} \) の円となる
\( zx \) 平面で切り取られる円の方程式は、\( zx \) 平面は方程式 \( y=0 \) と表されるので、
\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+(0+1)^2+(z-3)^2&=&10
\\[3pt]~~~(x-2)^2+1^2+(z-3)^2&=&10
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(z-3)^2&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、\( (x-2)^2+(z-3)^2=9~,~y=0 \) となり、
\( zx \) 平面上で、点 \( (2~,~0~,~3) \) が中心、半径 \( 3 \) の円となる
