- 数学C｜空間ベクトル「球面が座標平面で切り取られる円の半径」の基本例題解説ページです。
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問題｜球面が座標平面で切り取られる円の半径
空間ベクトル 44中心 \( (a~,~ 2~,~ 3) \) で半径 \( 5 \) の球面が \( yz \) 平面によって切り取られる円の半径が \( 4 \) のとき、\( a \) の値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
球面が座標平面で切り取られる円の半径
Point：球面が座標平面で切り取られる円の半径
① 球面の方程式を求める。
\( (x-a)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=5^2 \)
② 切り取る平面の方程式に代入し、円の方程式を求める。
\( yz \) 平面は方程式 \( x=0 \) より、
円の方程式は、
\( (y-2)^2+(z-3)^2=5^2-a^2~,~x=0 \)
③ 円の方程式の半径の条件より、未知数を求める。
未知数を含む球面が、座標平面によって切り取られる円の半径を条件として与えられているとき、
① 球面の方程式を求める。
\( (x-a)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=5^2 \)
② 切り取る平面の方程式に代入し、円の方程式を求める。
\( yz \) 平面は方程式 \( x=0 \) より、
円の方程式は、
\( (y-2)^2+(z-3)^2=5^2-a^2~,~x=0 \)
③ 円の方程式の半径の条件より、未知数を求める。
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詳しい解説｜球面が座標平面で切り取られる円の半径
空間ベクトル 44
中心 \( (a~,~ 2~,~ 3) \) で半径 \( 5 \) の球面が \( yz \) 平面によって切り取られる円の半径が \( 4 \) のとき、\( a \) の値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
中心 \( (a~,~ 2~,~ 3) \)、半径 \( 5 \) の球面の方程式は、
\( (x-a)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=5^2 \)
\( yz \) 平面は、方程式 \( x=0 \) と表されるので、\( yz \) 平面で切り取られる円の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~(0-a)^2+(y-2)^2+(z-3)^2&=&5^2
\\[3pt]~~~a^2+(y-2)^2+(z-3)^2&=&5^2
\\[3pt]~~~(y-2)^2+(z-3)^2&=&5^2-a^2\end{eqnarray}\)
よって、\( (y-2)^2+(z-3)^2=5^2-a^2~,~x=0 \)
\( yz \) 平面上の点 \( (0~,~ 2~,~ 3) \) が中心、半径 \( \sqrt{5^2-a^2} \) となる
ここで、半径が \( 4 \) であるので
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{5^2-a^2}&=&4
\\[3pt]~~~25-a^2&=&16
\\[3pt]~~~-a^2&=&-9
\\[3pt]~~~a^2&=&9
\\[3pt]~~~a&=&\pm 3\end{eqnarray}\)
したがって、\( a=\pm 3 \) となる
