- 数学C｜空間ベクトル「座標平面に接する球面の方程式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜座標平面に接する球面の方程式
空間ベクトル 46☆空間の点 \( (1~,~ 2~,~ 1) \) を通り、3つの座標平面に接する球面の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
座標平面に接する球面の方程式
Point：座標平面に接する球面の方程式
① 半径を \( r \) とし、通る点の位置より、中心の座標を \( r \) で表す。
点 \( (1~,~2~,~1) \) の座標がすべて正より、
中心 \( (r~,~r~,~r) \)、半径 \( r \)
② 球面の方程式をつくり、通る点の座標を代入し、\( r \) の値を求める。
\( (x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2 \)
3つの座標平面と接する球面の方程式は、
① 半径を \( r \) とし、通る点の位置より、中心の座標を \( r \) で表す。
点 \( (1~,~2~,~1) \) の座標がすべて正より、
中心 \( (r~,~r~,~r) \)、半径 \( r \)
② 球面の方程式をつくり、通る点の座標を代入し、\( r \) の値を求める。
\( (x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2 \)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜座標平面に接する球面の方程式
空間ベクトル 46☆
空間の点 \( (1~,~ 2~,~ 1) \) を通り、3つの座標平面に接する球面の方程式の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
この球の半径を \( r \) とすると、中心はそれぞれの座標平面からの距離が \( r \) となる
通る点 \( (1~,~2~,~1) \) の座標はすべて正より、この球の中心の座標もすべて正となるので、中心の座標は \( (r~,~r~,~r) \) となる
よって、球面の方程式は、
\( (x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2 \)
点 \( (1~,~2~,~1) \) を通るので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-r)^2+(2-r)^2+(1-r)^2&=&r^2
\\[3pt]~~~1-2r+r^2+4-4r+r^2+1-2r+r^2&=&r^2
\\[3pt]~~~3r^2-8r+6&=&r^2
\\[3pt]~~~2r^2-8r+6&=&0
\\[3pt]~~~2(r^2-4r+3)&=&0
\\[3pt]~~~2(r-1)(r-3)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~1-2r+r^2+4-4r+r^2+1-2r+r^2&=&r^2
\\[3pt]~~~3r^2-8r+6&=&r^2
\\[3pt]~~~2r^2-8r+6&=&0
\\[3pt]~~~2(r^2-4r+3)&=&0
\\[3pt]~~~2(r-1)(r-3)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\( (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1 \)
\( (x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=9 \)
