- 数学C｜空間ベクトル「球と直線との交点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜球と直線との交点の座標
空間ベクトル 48☆\(\overrightarrow{u}=(1~,~ 0~,~ 2) \) に平行な直線が点 \( (1~,~ -1~,~ -4) \) を通り、球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) と交わるとき、その点の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
球と直線との交点の座標
Point：球と直線との交点の座標
① 直線上の任意の点を \( {\rm P}(x~,~y~,~z) \) とし、直線のベクトル方程式より、点Pの座標を定数 \( t \) を用いて表す。
\( \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right) \)
これより、\( \left\{~\begin{array}{l}x=1+t\\y=-1\\z=-4+2t\end{array}\right. \)
② 点 \({\rm P}\) の座標を球面の方程式に代入し、定数 \( t \) の値を求めて、交点の座標を求める。
直線と球面の交点の座標の求め方は、
① 直線上の任意の点を \( {\rm P}(x~,~y~,~z) \) とし、直線のベクトル方程式より、点Pの座標を定数 \( t \) を用いて表す。
\( \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right) \)
これより、\( \left\{~\begin{array}{l}x=1+t\\y=-1\\z=-4+2t\end{array}\right. \)
② 点 \({\rm P}\) の座標を球面の方程式に代入し、定数 \( t \) の値を求めて、交点の座標を求める。
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詳しい解説｜球と直線との交点の座標
空間ベクトル 48☆
\(\overrightarrow{u}=(1~,~ 0~,~ 2) \) に平行な直線が点 \( (1~,~ -1~,~ -4) \) を通り、球面 \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) と交わるとき、その点の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
この直線上の任意の点を \( {\rm P}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) \) とすると、
\( \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right) \) が方向ベクトルで、点 \( \left(\begin{array}{c}1\\-1\\-4\end{array}\right) \) を通るので、\( t \) を定数とし、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}1+t\\-1\\-4+2t\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
よって、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}x=1+t\\y=-1\\z=-4+2t\end{array}\right.~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
この点 \({\rm P}\) が球面にあるとき、
\( (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=10 \) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+t-2)^2+(-1+1)^2+(-4+2t-3)^2&=&10
\\[3pt]~~~(t-1)^2+(2t-7)^2&=&10
\\[3pt]~~~t^2-2t+1+4t^2-28t+49&=&10
\\[3pt]~~~5t^2-30t+50-10&=&0
\\[3pt]~~~5t^2-30t+40&=&0
\\[3pt]~~~5(t^2-6t+8)&=&0
\\[3pt]~~~5(t-2)(t-4)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&2~,~4\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(t-1)^2+(2t-7)^2&=&10
\\[3pt]~~~t^2-2t+1+4t^2-28t+49&=&10
\\[3pt]~~~5t^2-30t+50-10&=&0
\\[3pt]~~~5t^2-30t+40&=&0
\\[3pt]~~~5(t^2-6t+8)&=&0
\\[3pt]~~~5(t-2)(t-4)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&2~,~4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\( t=2 \) のとき、\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+2=3
\\[3pt]~~~y&=&-1
\\[3pt]~~~z&=&-4+2\cdot 2=-4+4=0\end{eqnarray}\)
よって、\( {\rm P}(3~,~-1~,~0) \)
\( t=4 \) のとき、\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+4=5
\\[3pt]~~~y&=&-1
\\[3pt]~~~z&=&-4+2\cdot 4=-4+8=4\end{eqnarray}\)
よって、\( {\rm P}(5~,~-1~,~4) \)
したがって、\( (3~,~-1~,~0)~,~(5~,~-1~,~4) \) となる
