このページは、「球と直線との交点の座標」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
球と直線との交点の座標 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01球 \( (x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=25 \) について、点 \( (6~,~ 6~,~ 3) \) を通り、\(\overrightarrow{u}=(4~,~ 3~,~ -1) \) に平行な直線が、この球と2点で交わっている。その交点の座標を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.69 練習問題B 13(3)
この直線上の任意の点を \( {\rm P}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) \) とすると、
\( \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right) \) が方向ベクトルで、点 \( \left(\begin{array}{c}6\\6\\3\end{array}\right) \) を通るので、\( t \) を定数とし、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}6\\6\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}6+4t\\6+3t\\3-t\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
よって、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}x=6+4t\\y=6+3t\\z=3-t\end{array}\right.~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
この点 \({\rm P}\) が球面にあるとき、
\( (x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=25 \) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(6+4t+2)^2+(6+3t-3)^2+(3-t-1)^2&=&25
\\[3pt]~~~(8+4t)^2+(3+3t)^2+(2-t)^2&=&25
\\[3pt]~~~64+64t+16t^2+9+18t+9t^2+4-4t+t^2&=&25
\\[3pt]~~~26t^2+78t+77-25&=&0
\\[3pt]~~~26t^2+78t+52&=&0
\\[3pt]~~~26(t^2+3t+2)&=&0
\\[3pt]~~~26(t+1)(t+2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-1~,~-2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(8+4t)^2+(3+3t)^2+(2-t)^2&=&25
\\[3pt]~~~64+64t+16t^2+9+18t+9t^2+4-4t+t^2&=&25
\\[3pt]~~~26t^2+78t+77-25&=&0
\\[3pt]~~~26t^2+78t+52&=&0
\\[3pt]~~~26(t^2+3t+2)&=&0
\\[3pt]~~~26(t+1)(t+2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-1~,~-2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\( t=-1 \) のとき、\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&6+4\cdot (-1)=6-4=2
\\[3pt]~~~y&=&6+3\cdot (-1)=6-3=3
\\[3pt]~~~z&=&3-(-1)=3+1=4\end{eqnarray}\)
よって、\( {\rm P}(2~,~3~,~4) \)
\( t=-2 \) のとき、\( {\small [\,1\,]} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&6+4\cdot (-2)=6-8=-2
\\[3pt]~~~y&=&6+3\cdot (-2)=6-6=0
\\[3pt]~~~z&=&3-(-2)=3+2=5\end{eqnarray}\)
よって、\( {\rm P}(-2~,~0~,~5) \)
したがって、\( (2~,~3~,~4)~,~(-2~,~0~,~5) \) となる
