- 数学C｜空間ベクトル「座標空間の平面の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜座標空間の平面の方程式
空間ベクトル 49☆点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通りベクトル \(\overrightarrow{n}=(3~,~-2~,~1)\) に垂直な平面の方程式の求め方は？また、この平面と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸との交点の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
座標空間の平面の方程式
Point：座標空間の平面の方程式
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
座標空間の点 \((x_1~,~y_1~,~z_1)\) を通り、ベクトル \(\overrightarrow{n}=(a~,~b~,~c)\) に垂直な平面の方程式は、
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
ここで、\(\overrightarrow{n}\) はこの平面の法線ベクトルという。
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詳しい解説｜座標空間の平面の方程式
空間ベクトル 49☆
点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通りベクトル \(\overrightarrow{n}=(3~,~-2~,~1)\) に垂直な平面の方程式の求め方は？また、この平面と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸との交点の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通り、この平面の法線ベクトルが \(\overrightarrow{n}=(3~,~-2~,~1)\) より、平面の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~3(x-1)+(-2)\cdot(y-2)+1\cdot(z-3)&=&0\\[3pt]~~~3x-3-2y+4+z-3&=&0\\[3pt]~~~3x-2y+z-2&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(3x-2y+z-2=0\) となる
次に、\(x\) 軸との交点は、\(y\) 座標と \(z\) 座標が \(0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x-2\cdot0+0-2&=&0\\[3pt]~~~3x&=&2\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\left(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}~,~0~,~0\right)\) となる
\(y\) 軸との交点は、\(x\) 座標と \(z\) 座標が \(0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3\cdot0-2y+0-2&=&0\\[3pt]~~~-2y&=&2\\[3pt]~~~y&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、\((0~,~-1~,~0)\) となる
\(z\) 軸との交点は、\(x\) 座標と \(y\) 座標が \(0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3\cdot0-2\cdot0+z-2&=&0\\[3pt]~~~z&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\((0~,~0~,~2)\) となる
