- 数学C｜空間ベクトル「点と平面との距離」の基本例題解説ページです。
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問題｜点と平面との距離
空間ベクトル 50☆点 \( (4~,~-1~,~2) \) と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？また、原点と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
点と平面との距離
Point：点と平面との距離
\( h=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+cz_1+d\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\,} \)
座標空間の点 \( (x_1~,~y_1~,~z_1) \) と平面 \( ax+by+cz+d=0 \) の距離 \( h \) は、
\( h=\displaystyle\frac{\,|\,ax_1+by_1+cz_1+d\,|\,}{\,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\,} \)
分子は、点を代入して絶対値
分母は、\( x~,~y~,~z \) の係数の2乗の和のルート
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詳しい解説｜点と平面との距離
空間ベクトル 50☆
点 \( (4~,~-1~,~2) \) と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？また、原点と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \( (4~,~-1~,~2) \) と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離 \( h_1 \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~h_1&=&\displaystyle\frac{\,|\,3\cdot4-2\cdot(-1)+2-2\,|\,}{\,\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,12+2+2-2\,|\,}{\,\sqrt{9+4+1}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,14\,|\,}{\,\sqrt{14}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,14\cdot\sqrt{14}\,}{\,\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{14}\end{eqnarray}\)
原点 \( (0~,~0~,~0) \) と平面 \( 3x-2y+z-2=0 \) との距離 \( h_2 \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~h_2&=&\displaystyle\frac{\,|\,3\cdot0-2\cdot0+0-2\,|\,}{\,\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,|\,-2\,|\,}{\,\sqrt{9+4+1}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{14}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\times\sqrt{14}\,}{\,\sqrt{14}\times\sqrt{14}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\sqrt{14}\,}{\,14\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{14}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
