- 数学C｜空間ベクトル「座標空間の直線のベクトル方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜座標空間の直線のベクトル方程式
空間ベクトル 51☆点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_1}=(3~,~4~,~2)\) の直線の方程式は？また、点 \({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_2}=(2~,~1~,~0)\) の直線の方程式は？さらに、2点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を通る直線の方程式は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
座標空間の直線のベクトル方程式
Point：座標空間の直線のベクトル方程式
\(t\) を媒介変数とした、\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}\) を用いて、
\({\small [\,1\,]}\) \(a\neq 0~,~b\neq 0~,~c\neq 0\) のとき、
（\(~\Leftrightarrow ~ abc\neq 0\) のとき）
\(\displaystyle \frac{\,x-x_1\,}{\,a\,}=\frac{\,y-y_1\,}{\,b\,}=\frac{\,z-z_1\,}{\,c\,}\)
\(a\neq 0~,~b\neq 0~,~c=0\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,x-x_1\,}{\,a\,}=\frac{\,y-y_1\,}{\,b\,}~,~z=z_1\)
点 \({\rm A}(x_1~,~y_1~,~z_1)\) を通り、方向ベクトルが \(\overrightarrow{u}=(a~,~b~,~c)\) の直線の方程式は、
\(t\) を媒介変数とした、\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}\) を用いて、
\({\small [\,1\,]}\) \(a\neq 0~,~b\neq 0~,~c\neq 0\) のとき、
（\(~\Leftrightarrow ~ abc\neq 0\) のとき）
\(\displaystyle \frac{\,x-x_1\,}{\,a\,}=\frac{\,y-y_1\,}{\,b\,}=\frac{\,z-z_1\,}{\,c\,}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a~,~b~,~c\) のうちに \(0\) がある場合
\(a\neq 0~,~b\neq 0~,~c=0\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,x-x_1\,}{\,a\,}=\frac{\,y-y_1\,}{\,b\,}~,~z=z_1\)
※ 2点を通る直線の方程式は、2点を結ぶベクトルを方向ベクトルと考える。
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詳しい解説｜座標空間の直線のベクトル方程式
空間ベクトル 51☆
点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_1}=(3~,~4~,~2)\) の直線の方程式は？また、点 \({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_2}=(2~,~1~,~0)\) の直線の方程式は？さらに、2点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を通る直線の方程式は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_1}=(3~,~4~,~2)\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,3\,}=\frac{\,y-2\,}{\,4\,}=\frac{\,z-3\,}{\,2\,}\)
点 \({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) を通り方向ベクトルが \(\overrightarrow{u_2}=(2~,~1~,~0)\) より、
方向ベクトルの \(z\) 成分が \(0\) であるので、
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,2\,}=\frac{\,y-(-1)\,}{\,1\,}~,~z=2\)
したがって
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,2\,}=y+1~,~z=2\)
2点 \({\rm A}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}~,~{\rm B}\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\begin{pmatrix}4-1\\-1-2\\2-3\end{pmatrix}\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\-1\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
これを方向ベクトルとし、点 \({\rm A}\) を通ることより、
\(\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,3\,}=\frac{\,y-2\,}{\,-3\,}=\frac{\,z-3\,}{\,-1\,}\)
