このページは、「共役な複素数と複素数平面」の練習問題アーカイブページとなります。
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共役な複素数と複素数平面 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数 \( \alpha \) の実部が \( \displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,} \)、虚部が \( \displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,} \) で表されることを示せ。
数研出版｜数学C[708] p.87 練習4
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[証明] \( \alpha=a+bi \) とすると、共役な複素数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}=a-bi\end{eqnarray}\)
実部 \( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)+(a-bi)\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2a\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
これより、実部 \( a \) が \( \displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,} \) と等しくなる
また、虚部 \( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)-(a-bi)\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2bi\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
これより、虚部 \( b \) が \( \displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,} \) と等しくなる
したがって、複素数 \( \alpha \) の実部は \( \displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,} \) 、虚部は \( \displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,} \) で表される [終]
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}=a-bi\end{eqnarray}\)
実部 \( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)+(a-bi)\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2a\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
これより、実部 \( a \) が \( \displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,} \) と等しくなる
また、虚部 \( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)-(a-bi)\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2bi\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
これより、虚部 \( b \) が \( \displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,} \) と等しくなる
したがって、複素数 \( \alpha \) の実部は \( \displaystyle \frac{\,\alpha+\overline{\alpha}\,}{\,2\,} \) 、虚部は \( \displaystyle \frac{\,\alpha-\overline{\alpha}\,}{\,2i\,} \) で表される [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \) を証明せよ。
数研出版｜数学C[708] p.87 問2
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[証明] \( \alpha=a+bi~,~\beta=c+di \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha-\beta}&=&(a-c)-(b-d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)-(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}-\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \) が成り立つ [終]
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha-\beta}&=&(a-c)-(b-d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)-(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}-\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \) が成り立つ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) つの頂点から、それぞれの対辺またはその延長に下ろした \(3\) つの垂線は、\(1\) 点で交わることを複素数を用いて証明せよ。
数研出版｜数学C[708] p.112 問題 9
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[証明] \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) として、\({\rm A}~,~{\rm B}\) からそれぞれの対辺に下ろした \(2\) つの垂線の交点を \({\rm H}(0)\) とする
\({\rm BC}\perp{\rm HA}\) より、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm CA}\perp{\rm HB}\) より、\(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) の左辺を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\gamma}-\overline{\beta}\,}\end{eqnarray}\)
となるので、\({\small [\,1\,]}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\gamma}-\overline{\beta}\,}&=&-\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\end{eqnarray}\)
両辺に \((\overline{\gamma}-\overline{\beta})(\gamma-\beta)\) を掛けて、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}(\gamma-\beta)&=&-\alpha(\overline{\gamma}-\overline{\beta})~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\beta}(\alpha-\gamma)&=&-\beta(\overline{\alpha}-\overline{\gamma})~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) 、\({\small [\,4\,]}\) の左辺どうし、右辺どうしを加えると、
移項して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\gamma}(\alpha-\beta)+\gamma(\overline{\alpha}-\overline{\beta})&=&0\end{eqnarray}\)
すなわち、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\gamma}(\alpha-\beta)&=&-\gamma(\overline{\alpha}-\overline{\beta})\end{eqnarray}\)
両辺を \((\overline{\alpha}-\overline{\beta})(\alpha-\beta)\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\gamma}\,}{\,\overline{\alpha}-\overline{\beta}\,}&=&-\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}\perp{\rm HC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm C}\) から対辺 \({\rm AB}\) に下ろした垂線も点 \({\rm H}\) を通るので、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) つの頂点から下ろした \(3\) つの垂線は \(1\) 点 \({\rm H}\) で交わる [終]
\({\rm BC}\perp{\rm HA}\) より、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm CA}\perp{\rm HB}\) より、\(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) の左辺を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\gamma}-\overline{\beta}\,}\end{eqnarray}\)
となるので、\({\small [\,1\,]}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\gamma}-\overline{\beta}\,}&=&-\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\end{eqnarray}\)
両辺に \((\overline{\gamma}-\overline{\beta})(\gamma-\beta)\) を掛けて、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}(\gamma-\beta)&=&-\alpha(\overline{\gamma}-\overline{\beta})~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\beta}(\alpha-\gamma)&=&-\beta(\overline{\alpha}-\overline{\gamma})~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) 、\({\small [\,4\,]}\) の左辺どうし、右辺どうしを加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}(\gamma-\beta)+\overline{\beta}(\alpha-\gamma)&=&-\alpha(\overline{\gamma}-\overline{\beta})-\beta(\overline{\alpha}-\overline{\gamma})
\\[5pt]~~~\overline{\alpha}\gamma-\overline{\alpha}\beta+\overline{\beta}\alpha-\overline{\beta}\gamma&=&-\alpha\overline{\gamma}+\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\gamma}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\overline{\alpha}\gamma-\overline{\alpha}\beta+\overline{\beta}\alpha-\overline{\beta}\gamma&=&-\alpha\overline{\gamma}+\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\gamma}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
移項して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\gamma}(\alpha-\beta)+\gamma(\overline{\alpha}-\overline{\beta})&=&0\end{eqnarray}\)
すなわち、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\gamma}(\alpha-\beta)&=&-\gamma(\overline{\alpha}-\overline{\beta})\end{eqnarray}\)
両辺を \((\overline{\alpha}-\overline{\beta})(\alpha-\beta)\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\gamma}\,}{\,\overline{\alpha}-\overline{\beta}\,}&=&-\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\right)}&=&-\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\displaystyle \frac{\,\gamma\,}{\,\alpha-\beta\,}\) は純虚数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}\perp{\rm HC}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm C}\) から対辺 \({\rm AB}\) に下ろした垂線も点 \({\rm H}\) を通るので、\(\triangle {\rm ABC}\) の \(3\) つの頂点から下ろした \(3\) つの垂線は \(1\) 点 \({\rm H}\) で交わる [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04複素数 \( z=a+bi \) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\( a~,~b \) をそれぞれ \( z \) と \( \overline{z} \) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) の結果を利用して、次のことが成り立つことを確かめよ。
\( z \) が実数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=z \)
\( z \) が純虚数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=-z~,~z\ne 0 \)
\({\small (1)}~\)\( a~,~b \) をそれぞれ \( z \) と \( \overline{z} \) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) の結果を利用して、次のことが成り立つことを確かめよ。
\( z \) が実数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=z \)
\( z \) が純虚数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=-z~,~z\ne 0 \)
数研出版｜高等学校数学C[709] p.77 練習3
数研出版｜新編数学C[710] p.78 練習4
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\({\small (1)}~\)\( z=a+bi \) とすると、共役な複素数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{z}=a-bi\end{eqnarray}\)
\( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~z+\overline{z}&=&(a+bi)+(a-bi)\\[3pt]~~~&=&2a\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~z-\overline{z}&=&(a+bi)-(a-bi)\\[3pt]~~~&=&2bi\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}~,~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,} \) となる
\(\begin{eqnarray}~~~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}=0\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~z-\overline{z}&=&0\\[3pt]~~~\overline{z}&=&z\end{eqnarray}\)
したがって、\( z \) が実数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=z \) が成り立つ
\( z \) が純虚数になるのは、\( a=0~,~b\ne 0 \) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}=0\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~z+\overline{z}&=&0\\[3pt]~~~\overline{z}&=&-z\end{eqnarray}\)
ただし、\( z \) が \( 0 \) でないので、\( z\ne 0 \)
したがって、\( z \) が純虚数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=-z~,~z\ne 0 \) が成り立つ [終]
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{z}=a-bi\end{eqnarray}\)
\( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~z+\overline{z}&=&(a+bi)+(a-bi)\\[3pt]~~~&=&2a\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~z-\overline{z}&=&(a+bi)-(a-bi)\\[3pt]~~~&=&2bi\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}~,~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,} \) となる
\({\small (2)}~\)[証明] \( z \) が実数になるのは、\( b=0 \) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~b=\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}=0\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~z-\overline{z}&=&0\\[3pt]~~~\overline{z}&=&z\end{eqnarray}\)
したがって、\( z \) が実数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=z \) が成り立つ
\( z \) が純虚数になるのは、\( a=0~,~b\ne 0 \) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}=0\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~z+\overline{z}&=&0\\[3pt]~~~\overline{z}&=&-z\end{eqnarray}\)
ただし、\( z \) が \( 0 \) でないので、\( z\ne 0 \)
したがって、\( z \) が純虚数 \( \Leftrightarrow \overline{z}=-z~,~z\ne 0 \) が成り立つ [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05複素数 \( \alpha~,~\beta \) について、\( \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta \) が実数であることを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.103 問題 2
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[証明] \( \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta \) の共役な複素数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}&=&\overline{\alpha\overline{\beta}}+\overline{\overline{\alpha}\beta}\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}\,\overline{\overline{\beta}}+\overline{\overline{\alpha}}\,\overline{\beta}\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}\\[3pt]~~~&=&\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta\end{eqnarray}\)
これより、共役な複素数が自分自身と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}=\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta\end{eqnarray}\)
したがって、\( \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta \) は実数である [終]
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}&=&\overline{\alpha\overline{\beta}}+\overline{\overline{\alpha}\beta}\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}\,\overline{\overline{\beta}}+\overline{\overline{\alpha}}\,\overline{\beta}\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}\\[3pt]~~~&=&\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta\end{eqnarray}\)
これより、共役な複素数が自分自身と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}=\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta\end{eqnarray}\)
したがって、\( \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta \) は実数である [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\( \alpha=a+bi~,~\beta=c+di \) として、次のことを示せ。
\({\small (1)}~\)\( \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} \) \({\small (2)}~\)\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \)
\({\small (3)}~\)\( \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta} \) \({\small (4)}~\)\( \overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,} \)
\({\small (1)}~\)\( \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} \) \({\small (2)}~\)\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \)
\({\small (3)}~\)\( \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta} \) \({\small (4)}~\)\( \overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,} \)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.119 問4
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[証明] \( \alpha=a+bi~,~\beta=c+di \) とする
\({\small (1)}~\)\( \alpha+\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha+\beta}&=&(a+c)-(b+d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)+(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}+\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (2)}~\)\( \alpha-\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha-\beta}&=&(a-c)-(b-d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)-(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}-\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (3)}~\)\( \alpha\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta&=&(a+bi)(c+di)\\[3pt]~~~&=&ac+adi+bci+bdi^2\\[3pt]~~~&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\beta}&=&(ac-bd)-(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}\,\overline{\beta}&=&(a-bi)(c-di)\\[3pt]~~~&=&ac-adi-bci+bdi^2\\[3pt]~~~&=&(ac-bd)-(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (4)}~\)\( \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,} \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\displaystyle \frac{\,a+bi\,}{\,c+di\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)(c-di)\,}{\,(c+di)(c-di)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac-adi+bci-bdi^2\,}{\,c^2-d^2i^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(ac+bd)+(bc-ad)i\,}{\,c^2+d^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}+\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}-\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,}&=&\displaystyle \frac{\,a-bi\,}{\,c-di\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(a-bi)(c+di)\,}{\,(c-di)(c+di)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+adi-bci-bdi^2\,}{\,c^2-d^2i^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(ac+bd)+(ad-bc)i\,}{\,c^2+d^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}-\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,} \) が成り立つ [終]
\({\small (1)}~\)\( \alpha+\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha+\beta}&=&(a+c)-(b+d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)+(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}+\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (2)}~\)\( \alpha-\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha-\beta}&=&(a-c)-(b-d)i\\[3pt]~~~&=&(a-bi)-(c-di)\\[3pt]~~~&=&\overline{\alpha}-\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (3)}~\)\( \alpha\beta \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta&=&(a+bi)(c+di)\\[3pt]~~~&=&ac+adi+bci+bdi^2\\[3pt]~~~&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha\beta}&=&(ac-bd)-(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}\,\overline{\beta}&=&(a-bi)(c-di)\\[3pt]~~~&=&ac-adi-bci+bdi^2\\[3pt]~~~&=&(ac-bd)-(ad+bc)i\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta} \) が成り立つ
\({\small (4)}~\)\( \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,} \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\displaystyle \frac{\,a+bi\,}{\,c+di\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)(c-di)\,}{\,(c+di)(c-di)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac-adi+bci-bdi^2\,}{\,c^2-d^2i^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(ac+bd)+(bc-ad)i\,}{\,c^2+d^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}+\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}-\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,}&=&\displaystyle \frac{\,a-bi\,}{\,c-di\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(a-bi)(c+di)\,}{\,(c-di)(c+di)\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+adi-bci-bdi^2\,}{\,c^2-d^2i^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(ac+bd)+(ad-bc)i\,}{\,c^2+d^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ac+bd\,}{\,c^2+d^2\,}-\displaystyle \frac{\,bc-ad\,}{\,c^2+d^2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overline{\left(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\overline{\alpha}\,}{\,\overline{\beta}\,} \) が成り立つ [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07複素数 \( z=a+bi \) について、\( z \) の実部 \( a \)、\( z \) の虚部 \( b \) を \( z \) および \( \overline{z} \) を用いて表せ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.133 問題 1
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\( z=a+bi \) より、共役な複素数は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{z}=a-bi\end{eqnarray}\)
実部 \( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)+(a-bi)\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2a\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
これより、実部 \( a \) が \( \displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,} \) と等しくなる
また、虚部 \( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)-(a-bi)\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2bi\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
これより、虚部 \( b \) が \( \displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,} \) と等しくなる
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{z}=a-bi\end{eqnarray}\)
実部 \( a \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)+(a-bi)\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2a\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
これより、実部 \( a \) が \( \displaystyle \frac{\,z+\overline{z}\,}{\,2\,} \) と等しくなる
また、虚部 \( b \) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,}&=&\displaystyle \frac{\,(a+bi)-(a-bi)\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2bi\,}{\,2i\,}\\[5pt]~~~&=&b\end{eqnarray}\)
これより、虚部 \( b \) が \( \displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,2i\,} \) と等しくなる
