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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( a~,~b~,~c~,~d \) は実数とする。複素数 \( \alpha \) が方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) の解であるとき、\( \overline{\alpha} \) も同じ方程式の解であることを証明せよ。
数研出版｜数学C[708] p.88 問3
[証明] 方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) が解 \( x=\alpha \) をもつことより、
\(\begin{eqnarray}~~~a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0\end{eqnarray}\)
共役な複素数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~\overline{a\alpha^3}+\overline{b\alpha^2}+\overline{c\alpha}+\overline{d}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~\overline{a}\,\overline{\alpha}^3+\overline{b}\,\overline{\alpha}^2+\overline{c}\,\overline{\alpha}+\overline{d}&=&\overline{0}\end{eqnarray}\)
ここで、\( a~,~b~,~c~,~d~,~0 \) は実数より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,\overline{\alpha}^3+b\,\overline{\alpha}^2+c\,\overline{\alpha}+d&=&0\\[3pt]~~~a(\overline{\alpha})^3+b(\overline{\alpha})^2+c(\overline{\alpha})+d&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) は \( x=\overline{\alpha} \) も解にもつ [終]
