このページは、「複素数の絶対値と2点間の距離」の練習問題アーカイブページとなります。
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複素数の絶対値と2点間の距離 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数 \(\alpha\) と、それに共役な複素数 \(\overline{\alpha}\) について、\(|\, \alpha \,|=|\, -\alpha \,|=|\, \overline{\alpha} \,|\) が成り立つことを証明せよ。
数研出版｜数学C[708] p.89 問4
[証明] \(\alpha=a+bi\) とおくと、
\(-\alpha=-a-bi~,~\overline{\alpha}=a-bi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha \,|&=&|\, a+bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\, -\alpha \,|&=&|\, -a-bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(-a)^2+(-b)^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \overline{\alpha} \,|&=&|\, a-bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+(-b)^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, \alpha \,|=|\, -\alpha \,|=|\, \overline{\alpha} \,|\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02複素数 \(z\) について、\(|\, -\overline{z} \,|=|\, z \,|\) であることを確かめよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.78 練習5
数研出版｜新編数学C[710] p.79 練習6
[証明] \(z=a+bi\) とおくと、
\(\overline{z}=a-bi~,~-\overline{z}=-a+bi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, -\overline{z} \,|&=&|\, -a+bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(-a)^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|&=&|\, a+bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, -\overline{z} \,|=|\, z \,|\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\, z \,|=|\, -z \,|=|\, \overline{z} \,|~,~\)\(|\, z \,|^2=z\overline{z}\) が成り立つことを示せ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.121 問6
[証明] \(z=a+bi\) とおくと、
\(-z=-a-bi~,~\overline{z}=a-bi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|&=&|\, a+bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\, -z \,|&=&|\, -a-bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(-a)^2+(-b)^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \overline{z} \,|&=&|\, a-bi \,|\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+(-b)^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,a^2+b^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, z \,|=|\, -z \,|=|\, \overline{z} \,|\) が成り立つ
次に、\(z=a+bi\) より、\(\overline{z}=a-bi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~z\overline{z}&=&(a+bi)(a-bi)\\[3pt]~~~&=&a^2-(bi)^2\\[3pt]~~~&=&a^2-b^2i^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|^2&=&\left(\sqrt{\,a^2+b^2\,}\right)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, z \,|^2=z\overline{z}\) が成り立つ [終]
