このページは、「複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数 \(\alpha\) について、次のことを証明せよ。
\(|\, \alpha \,|=1\) のとき、\(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) は実数である。
\(|\, \alpha \,|=1\) のとき、\(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) は実数である。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.83 練習10
数研出版｜新編数学C[710] p.83 練習11
[証明] \(|\, \alpha \,|=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}&=&1^2\\[3pt]~~~\alpha\overline{\alpha}&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\overline{\alpha}^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}=\alpha\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}+\alpha^2\\[5pt]~~~&=&\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\left(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\right)}=\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) より、
\(\alpha^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\) は実数である [終]
