このページは、「複素数の絶対値を用いた計算」の練習問題アーカイブページとなります。
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複素数の絶対値を用いた計算 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学C[708] p.112 問題 1
\(\begin{eqnarray}~~~z-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&(1-i)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-i\,}\\[5pt]~~~&=&(1-i)-\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,(1-i)(1+i)\,}\\[5pt]~~~&=&(1-i)-\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1^2+1^2\,}\\[5pt]~~~&=&(1-i)-\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(1-i)-(1+i)\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-2i-1-i\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-3i\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, z-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \,\right|^2&=&\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}i \,\right|^2\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\left|\, z-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,} \,\right|^2=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ02
数研出版｜数学C[708] p.113 演習問題A 1
\(z+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) が実数より、
\(z+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\overline{\left(z+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\right)}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~z+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\overline{z}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{z}\,}\\[5pt]~~~z-\overline{z}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{z}\,}&=&0\\[5pt]~~~z-\overline{z}+\displaystyle \frac{\,\overline{z}-z\,}{\,z\overline{z}\,}&=&0\\[5pt]~~~z-\overline{z}-\displaystyle \frac{\,z-\overline{z}\,}{\,z\overline{z}\,}&=&0\\[5pt]~~~(z-\overline{z})\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\overline{z}\,}\right)&=&0\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(z-\overline{z})(z\overline{z}-1)\,}{\,z\overline{z}\,}&=&0\\[5pt]~~~(z-\overline{z})(z\overline{z}-1)&=&0\end{eqnarray}\)
ここで、\(z\) は虚数より \(z\neq\overline{z}\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~z\overline{z}-1&=&0\\[3pt]~~~z\overline{z}&=&1\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|^2&=&z\overline{z}\\[3pt]~~~|\, z \,|^2&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, z \,|\gt0\) より、\(|\, z \,|=1\) となる
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\)\(z\overline{z}\) \({\small (2)}~\)\(z+\overline{z}\)
数研出版｜新編数学C[710] p.103 章末問題A 1
\({\small (1)}~\)\(|\, z \,|=2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z\overline{z}=|\, z \,|^2&=&2^2\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(z\overline{z}=4\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\, z+3 \,|=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z+3 \,|^2&=&3^2\\[3pt]~~~(z+3)\overline{(z+3)}&=&9\\[3pt]~~~(z+3)(\overline{z}+3)&=&9\\[3pt]~~~z\overline{z}+3(z+\overline{z})+9&=&9\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small (1)}\) より \(z\overline{z}=4\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~4+3(z+\overline{z})+9&=&9\\[3pt]~~~3(z+\overline{z})&=&-4\\[3pt]~~~z+\overline{z}&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(z+\overline{z}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
