このページは、「複素数の極形式と乗法・除法」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
複素数の極形式と乗法・除法 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の等式が成り立つことを少なくとも \(2\) 通りの方法で示せ。
\((\cos \theta_1-i\sin \theta_1) \cdot (\cos \theta_2-i\sin \theta_2)=\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.133 問題 4
【解法1｜加法定理を用いる】
[証明] 右辺を加法定理で展開すると、
\(\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2\)
\(\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)-i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)-i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、左辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos \theta_1-i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2-i\sin \theta_1\cos \theta_2+i^2\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2-i\sin \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)-i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2-i\sin \theta_1\cos \theta_2+i^2\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2-i\sin \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)-i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\((\cos \theta_1-i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)=\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)\)
[終]
【解法2｜極形式の積として考える】
[証明] \(\cos(-\theta_1)=\cos \theta_1~,~\)\(\sin(-\theta_1)=-\sin \theta_1\) より、
\(\cos \theta_1-i\sin \theta_1=\cos(-\theta_1)+i\sin(-\theta_1)\)
\(\cos \theta_2-i\sin \theta_2=\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2)\)
これより、絶対値 \(1\) 、偏角 \(-\theta_1\) 、\(-\theta_2\) の複素数の積となるので、
極形式の積の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos \theta_1-i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\{\cos(-\theta_1)+i\sin(-\theta_1)\}\{\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos\{(-\theta_1)+(-\theta_2)\}+i\sin\{(-\theta_1)+(-\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos\{-(\theta_1+\theta_2)\}+i\sin\{-(\theta_1+\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\cos(-\theta_1)+i\sin(-\theta_1)\}\{\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos\{(-\theta_1)+(-\theta_2)\}+i\sin\{(-\theta_1)+(-\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos\{-(\theta_1+\theta_2)\}+i\sin\{-(\theta_1+\theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\((\cos \theta_1-i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)=\cos(\theta_1+\theta_2)-i\sin(\theta_1+\theta_2)\)
[終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) において、次の等式が成り立つことを示せ。
\((\cos {A}+i\sin {A})(\cos {B}+i\sin {B})(\cos {C}+i\sin {C})=-1\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.146 練習問題A 1
[証明] 左辺はそれぞれ絶対値 \(1\) 、偏角 \({A}~,~{B}~,~{C}\) の複素数であるので、
極形式の積の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos {A}+i\sin {A})(\cos {B}+i\sin {B})(\cos {C}+i\sin {C})
\\[3pt]~~~&=&\cos({A}+{B}+{C})+i\sin({A}+{B}+{C})\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos({A}+{B}+{C})+i\sin({A}+{B}+{C})\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和 \({A}+{B}+{C}=\pi\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos({A}+{B}+{C})+i\sin({A}+{B}+{C})
\\[3pt]~~~&=&\cos \pi+i\sin \pi
\\[3pt]~~~&=&-1+i \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\cos {A}+i\sin {A})(\cos {B}+i\sin {B})(\cos {C}+i\sin {C})=-1\)
[終]
