このページは、「複素数のn乗とド・モアブルの定理」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ド・モアブルの定理を用いて、次の \(3\) 倍角の公式を示せ。
\(\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
\(\sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3 \theta\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
\(\sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3 \theta\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.146 練習問題A 2
[証明] ド・モアブルの定理より、
\((\cos \theta+i\sin \theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、左辺を \(3\) 乗の展開公式で展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos \theta+i\sin \theta)^3&=&\cos^3 \theta+3\cos^2 \theta \cdot i\sin \theta+3\cos \theta \cdot (i\sin \theta)^2+(i\sin \theta)^3
\\[5pt]~~~&=&\cos^3 \theta+3i\cos^2 \theta\sin \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta-i\sin^3 \theta
\\[5pt]~~~&=&(\cos^3 \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta)+i(3\cos^2 \theta\sin \theta-\sin^3 \theta)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos^3 \theta+3i\cos^2 \theta\sin \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta-i\sin^3 \theta
\\[5pt]~~~&=&(\cos^3 \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta)+i(3\cos^2 \theta\sin \theta-\sin^3 \theta)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、
\(\cos 3\theta+i\sin 3\theta=(\cos^3 \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta)+i(3\cos^2 \theta\sin \theta-\sin^3 \theta)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺の実部と虚部を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\cos 3\theta=\cos^3 \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta\\
\sin 3\theta=3\cos^2 \theta\sin \theta-\sin^3 \theta
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos 3\theta\) について、\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 3\theta&=&\cos^3 \theta-3\cos \theta\sin^2 \theta
\\[3pt]~~~&=&\cos^3 \theta-3\cos \theta(1-\cos^2 \theta)
\\[3pt]~~~&=&\cos^3 \theta-3\cos \theta+3\cos^3 \theta
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \theta-3\cos \theta\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\) となる
また、\(\sin 3\theta\) について、\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 3\theta&=&3\cos^2 \theta\sin \theta-\sin^3 \theta
\\[3pt]~~~&=&3(1-\sin^2 \theta)\sin \theta-\sin^3 \theta
\\[3pt]~~~&=&3\sin \theta-3\sin^3 \theta-\sin^3 \theta
\\[3pt]~~~&=&3\sin \theta-4\sin^3 \theta\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3 \theta\) となる [終]
