図形の性質と漸化式

\( n=1 \) のとき、

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1本の直線には交点がないので、\( a_1=0 \) 個

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\( n=2 \) のとき、

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2本目の直線を引くとき、もとの1本と交点が1個できるので、\( a_2=1 \) 個

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\( n=3 \) のとき、

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3本目の直線を引くとき、もとの2本と交点が2個できるので、\( a_3=1+2=3 \) 個

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\( n=4 \) のとき、

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4本目を追加するとき、もとの3本と交点が3個できるので、\( a_4=3+3=6 \) 個

 

これより、\( n+1 \) 本目を引いたとき、もとの \( n \) 本と交点が \( n \) 個でき、もとから \( a_n \) 個あるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&a_n+n\end{eqnarray}\)

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が成り立つ

 

よって、\(a_{n+1}-a_n=n\) より、

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この数列 \( \{a_n\} \) の階差数列 \( \{b_n\} \) は一般項 \( b_n=n \)

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\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{\,n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&0+\displaystyle \sum_{k=1}^{\,n-1} k \hspace{20pt}(\,∵~ a_1=0~,~b_k=k\,)
\end{eqnarray}\)

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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot(1-1)\cdot1=0
\end{eqnarray} \)

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これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

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したがって、\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n\)