今回の問題は「背理法」です。
問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が３の倍数ならば、\(n\) も３の倍数となることを用いてよい。
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が３の倍数ならば、\(n\) も３の倍数となることを用いてよい。
Point：背理法での証明 \(\sqrt{3}\) が無理数であるなどの命題では、命題が成り立たないと仮定する「背理法」で示す。
① 命題が成り立たないことを仮定する。
② この仮定より、矛盾が生じることを示す。
③ 命題が成り立つことが示される。
※ 仮定が間違っていることより、示される。
■ 無理数であることの証明
その実数が有理数であると仮定して、
\({\small (1)}~\)有理数 \(r\) で表す。
\({\small (2)}~\)\(1\) 以外に公約数をもたない２つの自然数
\(a~,~b\) を用いて \({\Large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) と表す。
※ \(1\) 以外に公約数をもたない＝互いに素
このどちらかを用いて証明する。
① 命題が成り立たないことを仮定する。
② この仮定より、矛盾が生じることを示す。
③ 命題が成り立つことが示される。
※ 仮定が間違っていることより、示される。
■ 無理数であることの証明
その実数が有理数であると仮定して、
\({\small (1)}~\)有理数 \(r\) で表す。
\({\small (2)}~\)\(1\) 以外に公約数をもたない２つの自然数
\(a~,~b\) を用いて \({\Large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) と表す。
※ \(1\) 以外に公約数をもたない＝互いに素
このどちらかを用いて証明する。
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