６次式の因数分解の解法
① \((x^3)^2\) として２次式の因数分解をします。
② それぞれの \(x^3\) の式を３次式の因数分解の公式を用いて因数分解します。
問題解説：６次式の因数分解
問題解説(1)
$$~~~~~~x^6-64y^6$$$$~=(x^3)^2-(8y^3)^2$$因数分解の公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) より、$$~=(x^3+8y^3)(x^3-8y^3)$$$$~=\{x^3+(2y)^3\}\{x^3-(2y)^3\}$$それぞれ因数分解の公式を用いると、
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
$$~=(x+2y)\{x^2-x\cdot 2y+(2y)^2\}$$$$~~~~~~~~~~~~(x-2y)\{x^2+x\cdot 2y+(2y)^2\}$$$$~=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$$$$~~~~~~~~~~~~(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$$$$~=(x+2y)(x-2y)$$$$~~~~~~~~~~~~(x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)$$よって、答えは$$(x+2y)(x-2y)$$$$~~~~~~~~~~~~(x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)$$となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~x^6+26x^3-27$$$$~=(x^3)^2+26x^3-27$$$$~=(x^3-1)(x^3+27)$$$$~=(x^3-1^3)(x^3+3^3)$$それぞれ因数分解の公式を用いると、
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
$$~=(x-1)(x^2+x\cdot 1+1^2)$$$$~~~~~~~~~~~~(x+3)(x^2-x\cdot 3+3^2)$$$$~=(x-1)(x^2+x+1)(x+3)(x^2-3x+9)$$$$~=(x-1)(x+3)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)$$
よって、答えは、$$(x-1)(x+3)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)$$となります。
今回のまとめ
この６次式の因数分解はそれぞれパターンとして覚えましょう。ポイントは、先に \((x^3)^2\) として２次式の因数分解を計算することになります。
