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剰余の定理

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剰余の定理の解法

Point:剰余の定理多項式 \(P(x)\) を \(x-a\) で割ったときの商が \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、次の式が成り立ちます。

$$P(x)=(x-a)Q(x)+R$$

ここで、\(x=a\) のとき、$$~~~P(a)=(a-a)Q(a)+R$$$$\hspace{ 30 pt}=0\cdot Q(x)+R$$$$\hspace{ 30 pt}=R$$したがって、

$$R=P(a)$$

が成り立ちます。
 
また、多項式 \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの余り \(R\) は、

$$R=P\left(-\frac{b}{a}\right)$$

となります。

 

問題解説:剰余の定理

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+3x^2-5x+1\) を次の式で割ったときの余りを答えよ。$$~{\large ①}~x-1$$$$~{\large ②}~x+2$$$$~{\large ③}~2x+1$$$$~{\large ④}~3x-1$$

① \(P(x)\) を、\(x-1\) で割ったときの余りは、
剰余の定理より、$$~~~P(1)=3\cdot1^3+3\cdot1^2-5\cdot1+1$$$$\hspace{ 30 pt}=3+3-5+1$$$$\hspace{ 30 pt}=2$$よって、答えは \(2\) となります。
 
② \(P(x)\) を \(x+2\) で割ったときの余りは、
剰余の定理より、$$~~~P(-2)=3(-2)^3+3(-2)^2-5(-2)+1$$$$\hspace{ 39 pt}=-24+12+10+1$$$$\hspace{ 39 pt}=-1$$よって、答えは \(-1\) となります。
 
③ \(P(x)\) を \(2x+1\) で割ったときの余りは、
剰余の定理より、$$~~~P\left(-\frac{1}{2}\right)=3\left(-\frac{1}{2}\right)^3+3\left(-\frac{1}{2}\right)^2$$$$\hspace{100pt}-5\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$$$\hspace{ 49 pt}=-\frac{3}{8}+\frac{3}{4}+\frac{5}{2}+1$$$$\hspace{ 49 pt}=\frac{-3+6+20+8}{8}$$$$\hspace{ 49 pt}=\frac{31}{8}$$よって、答えは \({\Large \frac{31}{8}}\) となります。
 
④ \(P(x)\) を \(3x-1\) で割ったときの余りは、
剰余の定理より、$$~~~P\left(\frac{1}{3}\right)=3\left(\frac{1}{3}\right)^3+3\left(\frac{1}{3}\right)^2-5\left(\frac{1}{3}\right)+1$$$$\hspace{ 43 pt}=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-\frac{5}{3}+1$$$$\hspace{ 43 pt}=\frac{1+3-15+9}{9}$$$$\hspace{ 43 pt}=-\frac{2}{9}$$よって、答えは \(-{\Large \frac{2}{9}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+ax^2+3x-1\) を \(x-2\) で割ったときの余りが \(-3\) となるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。

\(P(x)\) を \(x-2\) で割ったとき、余りが \(-3\) となるためには、$$~~~P(2)=-3$$であればよい。
 
よって、\(x=2\) より、$$\hspace{ 10 pt}3\cdot 2^3+a\cdot2^2+3\cdot2-1=-3$$$$\hspace{ 39 pt}24+4a+6-1=-3$$$$\hspace{ 69 pt}29+4a=-3$$\(29\) を右辺に移項すると、$$\hspace{ 10 pt}4a=-3-29$$$$\hspace{ 10 pt}4a=-32$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 15 pt}a=-8$$よって、答えは \(a=-8\) となります。

 

今回のまとめ

剰余の定理を用いると余りの値を簡単に求めることができます。求め方を覚えておきましょう。

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