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因数定理を用いる因数分解

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因数定理を用いる因数分解の解法

Point:因数定理を用いる因数分解・因数定理
多項式 \(P(x)\) が \(x-a\) で割り切れるとき、

$$P(a)=0$$

これより、多項式 \(P(x)\) は \(x-a\) を因数にもつことがわかります。
よって、\(P(x)\) は次のように因数分解されます。

$$P(x)=(x-a)(~~~~~~~~~~~~~)$$

ここで、後半の \((~~~~~~~~~~~~~)\) の部分は \(P(x)\) を \(x-a\) で割る筆算を用いて求めましょう。
 
因数の見つけ方
\(x=\pm1~,~\pm2~,~\pm3~\cdots\) と値の小さい数を代入していき、\(P(x)=0\) となる \(x\) の値を見つけましょう。

 

問題解説:因数定理を用いる因数分解

問題解説(1)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^3-3x^2-x+3$$

\(P(x)=x^3-3x^2-x+3\) とすると、$$~~~P(1)=1^3-3\cdot1^2-1+3$$$$\hspace{ 31 pt}=1-3-1+3=0$$よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもちます。
\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、
 
\(\hspace{ 28 pt} \underline{~x^2-2x-3 \hspace{ 30 pt} }\)
\(x-1 )~ x^3-3x^2-x+3\)
\(\hspace{ 27 pt} \underline{~x^3-x^2 \hspace{ 45 pt} }\)
\(\hspace{ 45 pt} -2x^2-x+3\)
\(\hspace{ 35 pt} – \underline{ )-2x^2+2x \hspace{ 20 pt} }\)
\(\hspace{ 69 pt} -3x+3\)
\(\hspace{ 58 pt}- \underline{) -3x+3 ~~}\)
\(\hspace{ 100 pt} 0\)
 
よって、$$~~~P(x)=(x-1)(x^2-2x-3)$$後半部分を因数分解すると、$$\hspace{ 32 pt}=(x-1)(x+1)(x-3)$$
よって、答えは$$~~~(x-1)(x+1)(x-3)$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~2x^3+3x^2-11x-6$$

\(P(x)=2x^3+3x^2-11x-6\) とすると、$$~~~P(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2-11\cdot2-6$$$$\hspace{ 31 pt}=16+12-22-6=0$$よって、\(P(x)\) は \(x-2\) を因数にもちます。
\(P(x)\) を \(x-2\) で割ると、
 
\(\hspace{ 28 pt} \underline{~2x^2+7x+3 \hspace{ 37 pt} }\)
\(x-2 )~ 2x^3+3x^2-11x -6\)
\(\hspace{ 19 pt} – \underline{) 2x^3-4x^2 \hspace{ 48 pt} }\)
\(\hspace{ 57 pt} 7x^2-11x-6\)
\(\hspace{ 46 pt} – \underline{) 7x^2 -14x \hspace{ 22 pt} }\)
\(\hspace{ 89 pt} 3x-6\)
\(\hspace{ 77 pt}- \underline{) 3x-6~~}\)
\(\hspace{ 112 pt} 0\)
 
よって、
$$~~~P(x)=(x-2)(2x^2+7x+3)$$後半部分を因数分解すると、$$\hspace{ 32 pt}=(x-2)(2x+1)(x+3)$$
よって、答えは$$~~~(x-2)(2x+1)(x+3)$$となります。

 

今回のまとめ

因数を見つけるのが少々面倒ですが、練習をすればすぐに見つかるようになります。解法をしっかりと覚えておきましょう。

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