虚数解が与えられた３次方程式の解法
\(x=p+qi\) を解にもつことより、３次式に \(x=p+qi\) を代入して、$$~~~{\rm A}+{\rm B}i=0$$の形に式変形して、$$~~~{\rm A}+{\rm B}i=0~\Leftrightarrow~{\rm A}={\rm B}=0$$これより係数を求めます。
・解法パターン２
\(x=p+qi\) を解にもつことより、その共役な複素数である \(x=p-qi\) も解にもちます。
この２数を解にもつ２次方程式を作ります。
もとの３次方程式の左辺がこの２次式で割り切れることより、係数を求めます。
問題解説：３次方程式の虚数解
・解法パターン１
$$~~~x^3-9x^2+ax+b=0$$これに \(x=3-i\) を代入すると、$$~~~(3-i)^3-9(3-i)^2+a(3-i)+b=0$$$$~~~(3^3-3\cdot3^2\cdot i+3\cdot3\cdot i^2-i^3)$$$$\hspace{15pt}-9(3^2-2\cdot3\cdot i+i^2)+a(3-i)+b=0$$$$~~~(27-27i+9i^2-i^3)$$$$\hspace{20pt}-9(9-6i+i^2)+a(3-i)+b=0$$ここで、\(i^2=-1~,~i^3=-i\) と置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}(27-27i-9+i)$$$$\hspace{20pt}-9(9-6i-1)+a(3-i)+b=0$$$$\hspace{ 10 pt}18-26i-72+54i+3a-ai+b=0$$$$\hspace{ 10 pt}(18-72+3a+b)+(-26+54-a)i=0$$$$\hspace{ 10 pt}(3a+b-54)+(28-a)i=0$$\(a~,~b\) が実数で、\(3a+b-54~,~28-a\) も実数であるので、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~3a+b-54=0~\cdots{\large ①} \\ ~28-a=0~\cdots{\large ②} \end{eqnarray}$$②より、$$~~~28-a=0$$$$\hspace{ 23 pt}-a=-28$$$$\hspace{ 30 pt}a=28$$これを①に代入して、$$~~~3\cdot28+b-54=0$$$$\hspace{ 20 pt}84+b-54=0$$$$\hspace{ 43 pt}30+b=0$$$$\hspace{ 66 pt}b=-30$$
よって、もとの方程式は、$$~~~x^3-9x^2+28-30=0$$この左辺を \(P(x)\) とすると、$$~~~P(3)=3^3-9\cdot3^2+28\cdot-40$$$$\hspace{ 30 pt}=27-81+84-30=0$$よって、\(P(x)\) は \(x-3\) を因数にもちます。
\(P(x)\) を \(x-3\) で割ると、
\(\hspace{ 27 pt} \underline{~x^2-6x+10 \hspace{ 38 pt}}\)
\(x-3)~x^3-9x^2+28x-30\)
\(\hspace{ 15 pt}-\underline{)~x^3-3x^2\hspace{ 48 pt} }\)
\(\hspace{ 45 pt}-6x^2+24x-30\)
\(\hspace{ 26 pt}-\underline{)~-6x^2+18x\hspace{ 23 pt}}\)
\(\hspace{ 79 pt}10x-30\)
\(\hspace{ 65 pt}-\underline{)~10x-30~}\)
\(\hspace{ 112 pt}0\)
よって、$$~~~(x-3)(x^2-6x+10)=0$$これより、\(x-3=0~,~x^2-6x+10=0\) が解となるので、$$~~~x-3=0$$$$\hspace{ 25 pt}x=3$$
また、$$~~~x^2-6x+10=0$$解の公式より、$$~~~x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}$$負の数の平方根を \(i\) を用いて表すと、$$\hspace{ 16 pt}=\frac{6\pm\sqrt{4}i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\frac{6\pm2i}{2}$$$$\hspace{ 16 pt}=3\pm i$$よって、解は\(x=3~,~3\pm i\) となります。
以上より、答えは$$~~~a=28~,~b=-30$$他の解は、$$~~~x=3~,~3+i$$となります。
・解法パターン２
\(x=3-i\) を解にもつことより、共役な複素数である \(x=3+i\) も解にもちます。
よって、２つの解が \(3+i~,~3-i\) でその和と積を \(p~,~q\) とするとき、$$~~~p=(3+i)+(3-i)$$$$\hspace{ 15 pt}=3+i+3-i$$$$\hspace{ 15 pt}=6$$また、$$~~~q=(3+i)(3-i)$$$$\hspace{ 15 pt}=3^2-i^2$$ここで、\(i^2=-1\) と置き換えると、$$\hspace{ 15 pt}=9-(-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=9+1$$$$\hspace{ 15 pt}=10$$
したがって、この２次方程式は次のようになります。$$~~~x^2-6x+10=0$$ここで、\(x^3-9x^2+ax+b\) は \(x^2-6x+10\) で割り切れるので、
\(\hspace{ 60 pt} \underline{~x-3 \hspace{ 105 pt}} \)
\(x^2-6x+10)~x^3-9x^2+ax+b \)
\(\hspace{ 47 pt}- \underline{)~x^3-6x^2+10x \hspace{ 65 pt}}\)
\(\hspace{ 76 pt}-3x^2+(a-10)x+b\)
\(\hspace{ 58 pt}- \underline{)~-3x^2~~~~~~~~~~+18x-30~~~~~~}\)
\(\hspace{ 110 pt}(a-28)x+b+30\)
割り切れるためには余りが \(0\) となるので、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~a-28=0 \\ b+30=0 \end{eqnarray}$$よって、$$~~~a-28=0$$$$\hspace{ 30 pt}a=28$$また、$$~~~b+30=0$$$$\hspace{ 30 pt}b=-30$$
これより、$$~~~~~x^3-9x^2+28x-30=0$$となり、上の筆算から$$~~~(x-3)(x^2-6x+10)=0$$となるので、\(x-3=0\) も解となります。$$~~~x-3=0$$$$\hspace{ 25 pt} x=3$$
以上より、答えは$$~~~a=28~,~b=-30$$他の解は、$$~~~x=3~,~3+i$$となります。
今回のまとめ
どちらの解法も重要ですが、解法①では \(i\) の計算が少々大変となります。解法②がオススメですので覚えておきましょう。
