１の３乗根の解法
が成り立つます。
また、\(x^3=1\) より、
が成り立ちます。
この２つの式を用いて問題を解いていきましょう。
問題解説：１の３乗根
問題解説(1)
$$~~~~~~\omega^2+\omega+5$$$$~=\omega^2+\omega+1+4$$ここで、\(\omega^2+\omega+1=0\) より、$$~=0+4$$$$~=4$$
よって、答えは \(4\) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\omega^6$$$$~=(\omega^3)^2$$ここで、\(\omega^3=1\) より、$$~=1^2$$$$~=1$$
よって、答えは \(1\) となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\omega^8+\omega^7$$$$~=(\omega^3)^2\cdot\omega^2+(\omega^3)^2\cdot\omega$$ここで、\(\omega^3=1\) より、$$~=1^2\cdot\omega^2+1^2\cdot\omega$$$$~=\omega^2+\omega$$また、\(\omega^2+\omega+1=0\) より、\(\omega^2+\omega=-1\) となるので、$$~=-1$$
よって、答えは \(-1\) となります。
問題解説(4)
$$~~~~~~\omega^{100}+\omega^{50}+1$$$$~=(\omega^3)^{33}\cdot\omega+(\omega^3)^{16}\cdot\omega^2+1$$ここで、\(\omega^3=1\) より、$$~=1^{33}\cdot\omega+1^{16}\cdot\omega^2+1$$$$~=\omega+\omega^2+1$$ここで、\(\omega^2+\omega+1=0\) より、$$~=0$$
よって、答えは \(0\) となります。
今回のまとめ
１の３乗根の問題は、\(\omega\) についての成り立つ２つの式を使えるように練習しておきましょう。
