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2直線の交点を通る直線

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今回の問題は「2直線の交点を通る直線」です。

問題2直線 \(x+y-1=0\) \(,\) \(2x-3y+3=0\) の交点と点 \(P(4,-1)\) を通る直線の方程式を求めよ。

 

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2直線の交点を通る直線の解法

Point:2直線の交点を通る直線次の2つの直線の交点と点 \(P(x_p,y_p)\) を通る直線の方程式は、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} a_lx+b_ly+c_l=0 \cdots l \\ a_mx+b_my+c_m=0 \cdots m\end{eqnarray}$$
【解法パターン1】
① 2直線 \(l~,~m\) の交点の座標を求めます。
② この交点の座標と点 \(P\) の座標より、2点を通る直線の方程式を求めます。
 
【・解法パターン2】
① 2直線の交点を通る直線の方程式は定数 \(k\) を用いて次のように表すことができます。

$$k(a_lx+b_ly+c_l)$$$$~~~~~~~~~~+(a_mx+b_my+c_m)=0$$

② この直線が点 \(P\) を通ることより、座標を代入して \(k\) の値を求めます。
\(k\) の値を再代入して直線の方程式を求めます。

 

問題解説:2直線の交点を通る直線

問題2直線 \(x+y-1=0\) \(,\) \(2x-3y+3=0\) の交点と点 \(P(4,-1)\) を通る直線の方程式を求めよ。

【解法パターン1】
2直線について、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x+y-1=0~\cdots{\large ①} \\ 2x-3y+3=0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①×2−②より、$$~~~(x+y-1)\times2 -(2x-3y+3)=0$$$$\hspace{ 31 pt}2x+2y-2-2x+3y-3=0$$$$\hspace{ 118 pt}5y-5=0$$移項して、両辺を \(5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}5y=5$$$$\hspace{ 16 pt}y=1$$①に代入すると、$$~~~x+1-1=0$$$$\hspace{ 42 pt}x=0$$よって、交点の座標は \((0,1)\) となります。
したがって、直線の方程式は2点 \((0,1)\) \(,\) \((4,-1)\) を通るので、$$\hspace{10pt}y-1=\frac{-1-1}{4-0}(x-0)$$$$\hspace{ 10 pt}y-1=\frac{-2}{4}x$$$$\hspace{ 10 pt}y-1=-\frac{1}{2}x$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{2}x+y-1=0$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 14 pt}x+2y-2=0$$よって、答えは \(x+2y-2=0\) となります。
 
※注意:問題文で直線の方程式が一般形で表されているので、答えも一般形で答えましょう。
 
【解法パターン2】
2直線 \(x+y-1=0\) \(,\) \(2x-3y+3=0\) の交点を通る直線の方程式は、定数 \(k\) を用いて次のように表されます。$$~~~k(x+y-1)+(2x-3y+3)=0~\cdots{\large ①}$$これが点 \((4,-1)\) を通ることより、$$~~~k(4-1-1)+\{2\cdot4-3\cdot(-1)+3\}=0$$$$\hspace{ 86 pt}k\cdot2+(8+3+3)=0$$$$\hspace{ 132 pt}2k+14=0$$移項して、両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2k=-14$$$$\hspace{ 16 pt}k=-7$$
これを①に代入すると、$$~~~-7(x+y-1)+(2x-3y+3)=0$$$$\hspace{ 23 pt}-7x-7y+7+2x-3y+3=0$$$$\hspace{ 77 pt}-5x-10y+10=0$$両辺を \(-5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x+2y-2=0$$よって、答えは \(x+2y-2=0\) となります。

 

今回のまとめ

2直線の交点を通る直線の方程式の求め方は、解法②の求め方が計算が楽になります。解法を覚えておきましょう。

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