円と直線との共有点

2018.05.102020.06.09

円と直線との共有点の求め方
問題解説：円と直線との共有点
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

円と直線との共有点の求め方

Point：円と直線との共有点・円と直線との共有点
円と直線において、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+lx+my+n=0 \\ ~ax+by+c=0\end{eqnarray}$$この２つの式を連立して、$y$ を消去して $x$ の２次方程式とします。
① 共有点の個数
この $x$２次方程式の判別式を $D$ とすると、
( ⅰ ) $D>0$ のとき、
　　$~\Leftrightarrow~$ 異なる２点で交わる

( ⅱ ) $D=0$ のとき
　　$~\Leftrightarrow~$ 接する

( ⅲ ) $D<0$ のとき
　　$~\Leftrightarrow~$ 共有点をもたない

② 共有点の座標
この $x$ の２次方程式の解を求めて、元の直線の式に代入して $y$ の値も求めます。これらの $x,y$ が共有点の座標となります。

問題解説：円と直線との共有点

問題解説(1)

問題次の円と直線との共有点の個数と、その共有点の座標を求めよ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2=5 \\ ~3x-y+5=0\end{eqnarray}$$

$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2=5 ~\cdots{\large ①} \\ ~3x-y+5=0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$②より、$$~~~3x-y+5=0$$移項して、両辺に $-1$ をかけると、$$\hspace{ 10 pt} -y=-3x-5$$$$\hspace{ 18 pt}y=3x+5~\cdots③$$これを①に代入すると、$$\hspace{53pt}x^2+(3x+5)^2=5$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+9x^2+30x+25-5=0$$$$\hspace{ 45 pt}10x^2+30x+20=0$$両辺を $10$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+3x+2=0$$この２次方程式の判別式を $D$ とすると、$$~~~D=3^2-4\cdot1\cdot2$$$$\hspace{ 18 pt}=9-8$$$$\hspace{ 18 pt}=1$$よって、$D>0$ となることより異なる２点で交わります。

次に、この２次方程式の解は、$$\hspace{21pt}x^2+3x+2=0$$$$\hspace{ 10 pt}(x+1)(x+2)=0$$$$\hspace{ 68 pt}x=-2~,~-1$$$x=-1$ を③に代入すると、$$~~~y=3\cdot(-1)+5$$$$\hspace{ 15 pt}=-3+5$$$$\hspace{ 15 pt}=2$$また、$x=-2$ を③に代入すると、$$~~~y=3\cdot(-2)+5$$$$\hspace{ 15 pt}=-6+5$$$$\hspace{ 15 pt}=-1$$よって、$$~~~(x,y)=(-1,2)~,~(-2,-1)$$

以上より、
この円と直線は異なる２点で交わり、その共有点の座標は、$$~~~(x,y)=(-1,2)~,~(-2,-1)$$となります。

問題解説(2)

問題次の円と直線との共有点の個数と、その共有点の座標を求めよ。$${\small (2)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2=5 \\ ~2x-y-5=0\end{eqnarray}$$

$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2=5 ~\cdots{\large ①} \\ ~2x-y-5=0~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$②より、$$~~~2x-y-5=0$$移項して、両辺に $-1$ をかけると、$$\hspace{ 10 pt} -y=-2x+5$$$$\hspace{ 18 pt}y=2x-5~\cdots③$$これを①に代入すると、$$\hspace{53pt}x^2+(2x-5)^2=5$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+4x^2-20x+25-5=0$$$$\hspace{ 50 pt}5x^2-20x+20=0$$両辺を $5$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-4x+4=0$$この２次方程式の判別式を $D$ とすると、$$~~~D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4$$$$\hspace{ 18 pt}=16-16$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$よって、$D=0$ となることより接します。

次に、この２次方程式の解は、$$~~~x^2-4x+4=0$$$$\hspace{ 22 pt}(x-2)^2=0$$$$\hspace{ 52 pt}x=2$$$x=2$ を③に代入すると、$$~~~y=2\cdot2-5$$$$\hspace{ 15 pt}=4-5$$$$\hspace{ 15 pt}=-1$$よって、$$~~~(x,y)=(2,-1)$$

以上より、
この円と直線は接して、その共有点の座標は、$$~~~(x,y)=(2,-1)$$となります。