２つの円の位置関係の条件
\(d\) と \(R+r\) と \(R-r\) の大小関係より、２つの円の位置関係の条件を求めます。
( ⅰ ) \(d>R+r\) のとき
２つの円は離れている（外部にある）
( ⅱ ) \(d=R+r\) のとき
２つの円は互いに外接する
( ⅲ ) \(R-r<d<R+r\) のとき
２つの円は２点で交わる
( ⅳ ) \(d=R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) に内接する
( ⅴ ) \(d<R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) の内部にある
問題解説：２つの円の位置関係
\({\small (2)}~\)内接する
\({\small (3)}~\)離れている
\({\small (4)}~\)内部にある
\({\small (5)}~\)２点で交わる
それぞれの円の中心が \((0,0)~,~(3,4)\) であるので、中心間の距離 \(d\) は、$$~~~d=\sqrt{3^2+4^2}$$$$\hspace{ 16 pt}=\sqrt{9+16}$$$$\hspace{ 16 pt}=\sqrt{25}$$$$\hspace{ 16 pt}=5$$円 \(C_1\) の半径が \(2\)、円 \(C_2\) の半径が \(r\) より、位置関係を数直線上に表すと、
問題解説(1)
外接するときは、上の数直線より、$$~~~r+2=5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}r=5-2$$$$\hspace{ 10 pt}r=3$$よって、答えは \(r=3\) となります。
問題解説(2)
内接するときは、上の数直線より、$$~~~r-2=5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}r=5+2$$$$\hspace{ 10 pt}r=7$$よって、答えは \(r=7\) となります。
問題解説(3)
２つの円が離れていて外部にあるときは、上の数直線より、$$~~~5>r+2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-r>2-5$$$$\hspace{ 10 pt}-r>-3$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 16 pt}r<3$$よって、答えは \(r<3\) となります。
問題解説(4)
内部にあるときは、上の数直線より、$$~~~5<r-2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-r<-2-5$$$$\hspace{ 10 pt}-r<-7$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 16 pt}r>7$$よって、答えは \(r>7\) となります。
問題解説(5)
２点で交わるときは、上の数直線より、$$~~~r-2<5<r+2$$これより、$$~~~r-2<5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}r<5+2$$$$\hspace{ 10 pt}r<7$$また、$$~~~5<r+2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-r<2-5$$$$\hspace{ 10 pt}-r<-3$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 16 pt}r>3$$よって、答えは \(3<r<7\) となります。
今回のまとめ
２つの円の位置関係は、中心間の距離 \(d\) と２つの円の半径の条件を数直線をかいて考えるようにしましょう。
