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2つの円の共有点の座標

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今回の問題は「2つの円の共有点の座標」です。

問題次の2つの円の共有点の座標を求めよ。$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+x-2y-5=0 \\~x^2+y^2=10 \end{eqnarray}$$

 

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2つの円の共有点の座標の解法

Point:2つの円の共有点の座標2つの円$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0 ~\cdots{\small (a)} \\ ~x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0~\cdots{\small (b)} \end{eqnarray}$$の共有点の座標は、
① \({\small (a)}-{\small (b)}\) より、\(x^2,y^2\) を消去して、\(x,y\) の1次方程式を作ります。
② できた1次方程式と \({\small (a}\) または \({\small (b)}\) と連立して、\((x,y)\) の値を求めます。

 

問題解説:2つの円の共有点の座標

問題次の2つの円の共有点の座標を求めよ。$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+x-2y-5=0 \\~x^2+y^2=10 \end{eqnarray}$$

$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+x-2y-5=0 ~\cdots{\large ①}\\~x^2+y^2-10=0 ~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①−②より、$$~~~(x^2+y^2+x-2y-5)$$$$\hspace{50pt}-(x^2+y^2-10)=0$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2+x-2y-5-x^2-y^2+10=0$$$$\hspace{ 10 pt}x-2y+5=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2y-5~\cdots③$$これを②に代入すると、$$\hspace{35pt}(2y-5)^2+y^2-10=0$$$$\hspace{ 10 pt}4y^2-20y+25+y^2-10=0$$$$\hspace{ 55 pt}5y^2-20y+15=0$$両辺を \(5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}y^2-4y+3=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(y-1)(y-3)=0$$$$\hspace{ 66 pt}y=1~,~3$$
( ⅰ ) \(y=1\) のとき、③に代入すると、$$~~~x=2\cdot1-5$$$$\hspace{ 16 pt}=2-5$$$$\hspace{ 16 pt}=-3$$
( ⅱ ) \(y=3\) のとき、③に代入すると、$$~~~x=2\cdot3-5$$$$\hspace{ 16 pt}=6-5$$$$\hspace{ 16 pt}=1$$
よって、答えは$$~~~(x,y)=(-3,1)~,~(1,3)$$となります。

 

今回のまとめ

2つの円の共有点の座標は、2つの円を連立して1次方程式を作ります。それと円の方程式を連立して座標を求めましょう。

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