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三角関数の性質①

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-θ、π-θ、π+θの三角関数

Point:-θ、π-θ、π+θの三角関数
上の図の \(\theta\) の三角関数を基準として考えます。
① \(-\theta\) の三角関数
\(y\) 座標は符号が逆なので、

$$\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}$$

\(x\) 座標は同じ値なので、

$$\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}$$

傾きは符号が逆なので、

$$\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}$$

 
② \(\pi-\theta\) の三角関数
\(y\) 座標は同じ値なので、

$$\sin{(\pi-\theta)}=\sin{\theta}$$

\(x\) 座標は符号が逆なので、

$$\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}$$

傾きは符号が逆なので、

$$\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta}$$

 
③ \(\pi+\theta\) の三角関数
\(y\) 座標は符号が逆なので、

$$\sin{(\pi+\theta)}=-\sin{\theta}$$

\(x\) 座標は符号が逆なので、

$$\cos{(\pi+\theta)}=-\cos{\theta}$$

傾きは同じ値なので、

$$\tan{(\pi+\theta)}=\tan{\theta}$$

 

問題解説:三角関数の性質①

問題解説(1)

問題次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{\theta}\cos{(-\theta)}+\sin{(\pi-\theta)}\cos{(\pi+\theta)}$$

$$~~~~~~\sin{\theta}\cos{(-\theta)}+\sin{(\pi-\theta)}\cos{(\pi+\theta)}$$公式をそれぞれ用いて計算すると、$$~=\sin{\theta}\cos{\theta}+\sin{\theta}(-\cos{\theta})$$$$~=\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\cos{\theta}$$$$~=0$$よって答えは \(0\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式の値を求めよ。$${\small (2)}~\frac{\cos{(\pi-\theta)}\tan{(-\theta)}\tan{(\pi+\theta)}}{\sin{(\pi+\theta)}\tan{(\pi-\theta)}}$$

$$~~~~~~\frac{\cos{(\pi-\theta)}\tan{(-\theta)}\tan{(\pi+\theta)}}{\sin{(\pi+\theta)}\tan{(\pi-\theta)}}$$公式をそれぞれ用いて計算すると、$$~=\frac{-\cos{\theta}(-\tan{\theta})\tan{\theta}}{(-\sin{\theta})(-\tan{\theta})}$$$$~=\frac{\cos{\theta}\tan{\theta}}{\sin{\theta}}$$\(\tan{\theta}={\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) を用いると、$$~=\frac{\cos{\theta}\cdot{\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}}{\sin{\theta}}$$$$~=\frac{\sin{\theta}}{\sin{\theta}}$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

今回のまとめ

これらの公式はそのまま暗記するのではなく、単位円を用いて導き出せるようになりましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:三角関数
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