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数列の収束と発散

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今回の問題は「数列の収束と発散」です。

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ。$${\small (1)}~\{~n-1~\}\hspace{32pt}{\small (2)}~\{~3-n~\}$$$${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}\hspace{20pt}{\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$$$${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}\hspace{25pt}{\small (6)}~\{~3^n~\}$$$${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}\hspace{20pt}{\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$$

 

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数列の収束と発散の解法

Point:数列の収束と発散\(a\) を定数とし、\(n\to\infty\) としたとき、

$$~{\large ①}~n\pm a ~\to~\infty$$$$~{\large②}~-n\pm a~\to~-\infty~~$$$$~{\large③}~n^2+n~\to~\infty$$

定数をたし算・ひき算しても結果は同じになります。
 

$$~{\large④}~\frac{a}{n}~\to~0$$$$~{\large⑤}~\frac{a}{n^2}~\to~0~~$$

分母が \(\infty\) になると限りなく \(0\) に近づきます。
 

$$~{\large⑥}~\sqrt{n}~\to~\infty~~$$

平方根の中が無限大でも発散します。
 
無限等比数列 \(\{r^n\}\) について、

$$~{\large⑦}~r>1~\Rightarrow~r^n~\to~\infty$$$$~{\large⑧}~r=1~\Rightarrow~r^n~\to~1$$$$~{\large⑨}~-1<r<1~\Rightarrow~r^n~\to~0~~$$$$~{\large⑩}~r≦-1$$   \(~~\Rightarrow~~ r^n\) は振動する

 

問題解説:数列の収束と発散

問題解説(1)

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ。$${\small (1)}~\{~n-1~\}$$

\(n\to\infty\) のとき、$$~~~n-1~\to~\infty -1~\to~\infty$$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\{~3-n~\}$$

\(n\to\infty\) のとき、$$~~~3-n~\to~3-\infty~\to~-\infty$$よって、答えは負の無限大に発散します。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}$$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) となるので、$$~~~2+\frac{1}{n}~\to~2+0~\to~2$$よって、答えは \(2\) に収束します。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n^2}}\to 0\) となるので、$$~~~\frac{2}{n^2}-1~\to~0-1~\to~-1$$よって、答えは \(-1\) に収束します。

 

問題解説(5)

問題$${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}$$

\(n\to\infty\) のとき、$$~~~\sqrt{n+1}~\to~\sqrt{\infty +1}~\to~\infty$$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(6)

問題$${\small (6)}~\{~3^n~\}$$

等比数列の公比が \(3\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$$~~~3^n~\to~\infty$$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(7)

問題$${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}$$

等比数列の公比が \({\Large \frac{1}{3}}\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$$~~~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\to~0$$よって、答えは \(0\) に収束します。

 

問題解説(8)

問題$${\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$$

等比数列の公比が \(-2\) であるので、答えは振動します。

 

今回のまとめ

数列の極限の基本を解説しました。これらが今後の基本となるので、それぞれの求め方をしっかりと覚えておきましょう。

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