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不定形の解消①

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今回の問題は「不定形の解消①」です。

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-5n+3}{3n^2-1}$$$${\small (3)}~\lim_{n\to\infty}(2n^2-n^3)$$

 

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不定形の解消①

Point:不定形の解消・不定形
次の2つの形は不定形となり、そのままでは計算できません。まずはこれらの形を覚えましょう。

$$~{\large ①}~\infty-\infty~$$

このままだと、どちらの \(\infty\) が大きいかで値が変化し定まりません。
 

$$~{\large ②}~\frac{\infty}{\infty}~$$

このままだと、分母分子のどちらが大きかで収束か発散かで定まりません。
 
・不定形の解消①
分数式となっている数列の極限は、「分母の最高次数の文字式で分母分子のすべての項を割る」計算をしましょう。
例えば、$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n-1}$$このままでは、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となるので、分母の最高次数の \(n\) で割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n}{n}}+{\Large \frac{1}{n}}}{{\Large \frac{3n}{n}}-{\Large \frac{1}{n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2+{\Large \frac{1}{n}}}{3-{\Large \frac{1}{n}}}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{n}}\to 0\)より、$$~=\frac{2+0}{3-0}=\frac{2}{3}$$よって、\({\Large \frac{2}{3}}\) に収束します。
 
・不定形の解消②
そのまま計算すると、\(\infty-\infty\) の不定形となる高次式の数列の極限は、「最高次数の文字式でくくる」計算をしましょう。
例えば、$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}(n^3-3n^2)$$このままでは、\(\infty – \infty\) の不定形となるので、最高次数は \(n^3\) より、\(n^3\) でくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}n^3\left(1-\frac{3}{n}\right)$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(n^3\to\infty~,~{\Large \frac{1}{n}}\to 0\) より、$$~=\infty\times(1-0)=\infty$$よって、正の無限大に発散します。

 

問題解説:不定形の解消①

問題解説(1)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$$このままでは、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となるので、分母の最高次数の \(n\) で割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n}{n}}+{\Large \frac{1}{n}}}{{\Large \frac{n}{n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2+{\Large \frac{1}{n}}}{1}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) より、$$~=\frac{2+0}{1}$$$$~=2$$よって、\(2\) に収束します。

 

問題解説(2)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-5n+3}{3n^2-1}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-5n+3}{3n^2-1}$$このままでは、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となるので、分母の最高次数の \(n^2\) で割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n^2}{n^2}}-{\Large \frac{5n}{n^2}}+{\Large \frac{3}{n^2}}}{{\Large \frac{3n^2}{n^2}}-{\Large \frac{1}{n^2}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2-{\Large \frac{5}{n}}+{\Large \frac{3}{n^2}}}{3-{\Large \frac{1}{n^2}}}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n}}\to 0~,~{\Large \frac{1}{n^2}}\to 0\) より、$$~=\frac{2-5\cdot 0+3\cdot 0}{3+0}$$$$~=\frac{2}{3}$$よって、答えは \({\Large \frac{2}{3}}\) に収束します。

 

問題解説(3)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{n\to\infty}(2n^2-n^3)$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}(2n^2-n^3)$$このままでは、\(\infty – \infty\) の不定形となるので、最高次数は \(n^3\) より、\(n^3\) でくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{2}{n}-1\right)$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(n^3\to\infty~,~{\Large \frac{1}{n}}\to 0\) より、$$~=\infty\times(2\cdot 0-1)$$$$~=\infty\cdot(-1)$$$$~=-\infty$$よって、負の無限大に発散します。

 

今回のまとめ

不定形を解消するパターンの問題を解説しました。今回のパターンは基本となるのでしっかりと覚えておきましょう。

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このページは「高校数学Ⅲ:数列の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...