不定形の解消①

2018.04.242020.06.09

不定形の解消①
問題解説：不定形の解消①
今回のまとめ

不定形の解消①

Point：不定形の解消■ 不定形
次の２つの形は不定形となり、そのままでは計算できません。まずはこれらの形を覚えましょう。

$$~{\large ①}~\infty-\infty~$$

このままだと、どちらの $\infty$ が大きいかで値が変化し定まりません。

$$~{\large ②}~\frac{\infty}{\infty}~$$

このままだと、分母分子のどちらが大きかで収束か発散かで定まりません。

■ 不定形の解消①（分数式タイプ）
分数式となっている数列の極限は、「分母の最高次数の文字式で分母分子のすべての項を割る」計算をしましょう。
例えば、$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n+1\,}{\,3n-1\,}$$このままでは、${\Large \frac{\infty}{\infty}}$ の不定形となるので、分母の最高次数の $n$ で割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n}{n}}+{\Large \frac{1}{n}}}{{\Large \frac{3n}{n}}-{\Large \frac{1}{n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2+{\Large \frac{1}{n}}}{3-{\Large \frac{1}{n}}}$$ここで、$n\to\infty$ のとき ${\Large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\to 0$より、$$~=\frac{2+0}{3-0}=\frac{\,2\,}{\,3\,}$$よって、${\Large \frac{2}{3}}$ に収束します。

■ 不定形の解消②（∞−∞タイプ）
そのまま計算すると、$\infty-\infty$ の不定形となる高次式の数列の極限は、「最高次数の文字式ですべての項をくくる」計算をしましょう。
例えば、$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\left(n^3-3n^2\right)$$このままでは、$\infty – \infty$ の不定形となるので、最高次数は $n^3$ より、$n^3$ ですべての項をくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}n^3\left(1-\frac{\,3\,}{\,n\,}\right)$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$n^3\to\infty~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\to 0$ より、$$~=\infty\times(1-0)=\infty$$よって、正の無限大に発散します。

問題解説：不定形の解消①

問題解説(1)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n+1\,}{n}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n+1\,}{n}$$このままでは、${\Large \frac{\infty}{\infty}}$ の不定形となるので、分母の最高次数の $n$ で分母分子のすべての項を割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n}{n}}+{\Large \frac{1}{n}}}{{\Large \frac{n}{n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2+{\Large \frac{1}{n}}}{1}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、${\Large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\to 0$ より、$$~=\frac{\,2+0\,}{1}$$$$~=2$$よって、$2$ に収束します。

問題解説(2)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n^2-5n+3\,}{3n^2-1}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{\,2n^2-5n+3\,}{3n^2-1}$$このままでは、${\Large \frac{\infty}{\infty}}$ の不定形となるので、分母の最高次数の $n^2$ で分母分子のすべての項を割ると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{2n^2}{n^2}}-{\Large \frac{5n}{n^2}}+{\Large \frac{3}{n^2}}}{{\Large \frac{3n^2}{n^2}}-{\Large \frac{1}{n^2}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{2-{\Large \frac{5}{n}}+{\Large \frac{3}{n^2}}}{3-{\Large \frac{1}{n^2}}}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、${\Large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\to 0~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,n^2\,}}\to 0$ より、$$~=\frac{\,2-5\cdot 0+3\cdot 0\,}{3+0}$$$$~=\frac{\,2\,}{\,3\,}$$よって、答えは ${\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}$ に収束します。

問題解説(3)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{n\to\infty}\left(2n^2-n^3\right)$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\left(2n^2-n^3\right)$$このままでは、$\infty – \infty$ の不定形となります。
最高次数は $n^3$ より、これですべての項をくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{\,2\,}{\,n\,}-1\right)$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$n^3\to\infty~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,n\,}}\to 0$ より、$$~=\infty\times(2\cdot 0-1)$$$$~=\infty\cdot(-1)$$$$~=-\infty$$よって、負の無限大に発散します。