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不定形の解消②(平方根)

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今回の問題は「不定形の解消②(平方根)」です。

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}-n}$$

 

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不定形の解消②(平方根)

Point:平方根を含む不定形の解消平方根を含む数列の極限で不定形となる場合は、次のような計算をして不定形を解消しましょう。
① \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に \((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\times\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\sqrt{n+1}\to\infty~,~\sqrt{n}\to\infty\) となり、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to\infty\) となるので、$$~=0$$よって、\(0\) に収束します。
 
② 分母が \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$$このままだと、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\times\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(n+1)-n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\sqrt{n+1}\to\infty~,~\sqrt{n}\to\infty\) となり、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to\infty\) となるので、$$~=\infty$$よって、正の無限大に発散します。

 

問題解説:不定形の解消②(平方根)

問題解説(1)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)$$

$$~~~~~\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に \((\sqrt{n^2+3n}+n)\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)\times\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+3n})^2-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$次に、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最高次数の文字式 \(n\) で分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3n}{n}}}{{\Large \frac{\sqrt{n^2+3n}}{n}}+{\Large \frac{n}{n}}}$$平方根の中に \(n\) を入れると、\(n=\sqrt{n^2}\) より、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{{\Large \sqrt{\frac{n^2+3n}{n^2}}}+1}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+{\Large \frac{3}{n}}}+1}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) となるので、$$~=\frac{3}{\sqrt{1+0}+1}$$$$~=\frac{3}{1+1}$$$$~=\frac{3}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{3}{2}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}-n}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}-n}$$このままだと、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に、\(\sqrt{n^2+3n}+n\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}-n}\times\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{(\sqrt{n^2+3n})^2-n^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{(n^2+3n)-n^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{3n}$$
次に、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最高次数の文字式 \(n\) で分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{\sqrt{n^2+3n}}{n}}+{\Large \frac{n}{n}}}{{\Large \frac{3n}{n}}}$$平方根の中に \(n\) を入れると、\(n=\sqrt{n^2}\) より、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{{\Large \frac{n^2+3n}{n^2}}}+1}{3}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+{\Large \frac{3}{n}}}+1}{3}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) となるので、$$~=\frac{\sqrt{1+0}+1}{3}$$$$~=\frac{1+1}{3}$$$$~=\frac{2}{3}$$よって、答えは \({\Large \frac{2}{3}} \) となります。

 

今回のまとめ

平方根を含む数列の極限で不定形となる場合は、有理化を利用して不定形を解消しましょう。

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このページは「高校数学Ⅲ:数列の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...