不定形の解消②（平方根）
■ \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に \((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\times\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\sqrt{n+1}\to\infty~,~\sqrt{n}\to\infty\) となり、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to\infty\) となるので、$$~=0$$よって、\(0\) に収束します。
■ 分母が \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\,\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\,}$$このままだと、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\times\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(n+1)-n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\sqrt{n+1}\to\infty~,~\sqrt{n}\to\infty\) となり、\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to\infty\) となるので、$$~=\infty$$よって、正の無限大に発散します。
問題解説：不定形の解消②（平方根）
問題解説(1)
$$~~~~~\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に \((\sqrt{n^2+3n}+n)\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n}-n)\times\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+3n})^2-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$次に、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最高次数の文字式 \(n\) で分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3n}{n}}}{{\Large \frac{\sqrt{n^2+3n}}{n}}+{\Large \frac{n}{n}}}$$平方根の中に \(n\) を入れると、\(n=\sqrt{n^2}\) より、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{{\Large \sqrt{\frac{n^2+3n}{n^2}}}+1}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+{\Large \frac{3}{n}}}+1}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{\,n\,}}\to 0\) となるので、$$~=\frac{3}{\sqrt{1+0}+1}$$$$~=\frac{3}{1+1}$$$$~=\frac{\,3\,}{\,2\,}$$よって、答えは \({\Large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\,\sqrt{n^2+3n}-n\,}$$このままだと、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母分子に、\(\sqrt{n^2+3n}+n\) をかけると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}-n}\times\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{(\sqrt{n^2+3n})^2-n^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{(n^2+3n)-n^2}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{3n}$$
次に、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最高次数の文字式 \(n\) で分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{\sqrt{n^2+3n}}{n}}+{\Large \frac{n}{n}}}{{\Large \frac{3n}{n}}}$$平方根の中に \(n\) を入れると、\(n=\sqrt{n^2}\) より、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{{\Large \frac{n^2+3n}{n^2}}}+1}{3}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+{\Large \frac{3}{n}}}+1}{3}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{\,n\,}}\to 0\) となるので、$$~=\frac{\sqrt{1+0}+1}{3}$$$$~=\frac{1+1}{3}$$$$~=\frac{\,2\,}{\,3\,}$$よって、答えは \({\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}} \) となります。
今回のまとめ
平方根を含む数列の極限で不定形となる場合は、有理化を利用して不定形を解消しましょう。
