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不定形の解消③(等比数列)

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今回の問題は「不定形の解消③(等比数列)」です。

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^n}{3^n+(-2)^n}$$$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}(3^n-5^n)$$

 

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不定形の解消③(等比数列)

Point:等比数列の不定形の解消等比数列を含む数列の極限の不定形の解消は、次の2つの解法のパターンを覚えておきましょう。
① 分母が \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{3^n-2^n}$$このままだと、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母の数値が一番大きい項 \(3^n\) で、分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^2}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^n\to 0\) となるので、$$~=\frac{1}{1-0}$$$$~=1$$よって、\(1\) に収束します。
 
② \(\infty-\infty\) の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}(3^n-2^n)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
数値が一番大きい項の \(3^n\) でくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}3^n\left(1-\frac{2^n}{3^n}\right)$$$$~=\lim_{n\to\infty}3^n \left\{ 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n \right\}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^n\to 0\) となるので、$$~=\infty\cdot(1-0)$$$$~=\infty$$よって、正の無限大に発散します。

 

問題解説:不定形の解消③(等比数列)

問題解説(1)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^n}{3^n+(-2)^n}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^n}{3^n+(-2)^n}$$このままだと、分子が \(\infty-\infty\) の不定形となります。
分母の数値が一番大きい項 \(3^n\) で、分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3^{n+1}}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}+{\Large \frac{(-2)^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3\cdot 3^n}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}+{\Large \frac{(-2)^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3-\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^n}{1+\left(-{\Large \frac{2}{3}}\right)^n}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\left({\Large\frac{2}{3}}\right)^n\to 0~,~\left(-{\Large\frac{2}{3}}\right)^n\to 0\) となるので、$$~=\frac{3-0}{1+0}$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}(3^n-5^n)$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}(3^n-5^n)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
数値が一番大きい項の \(5^n\) でくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}5^n\left(\frac{3^n}{5^n}-1\right)$$$$~=\lim_{n\to\infty}5^n\left\{ \left(\frac{3}{5}\right)^n-1 \right\}$$ここで、\(n\to\infty\) のとき、\(\left({\Large \frac{3}{5}}\right)^n\to 0\) となるので、$$~=\infty\cdot(0-1)$$$$~=-\infty$$よって、負の無限大に発散します。

 

今回のまとめ

等比数列を含む数列の極限で不定形となるときは、数値が一番大きい項で割ったり、くくり出したりする計算方法を覚えておきましょう。

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