不定形の解消③（等比数列）

2018.04.242020.06.09

不定形の解消③（等比数列）
問題解説：不定形の解消③（等比数列）
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

不定形の解消③（等比数列）

Point：等比数列の不定形の解消等比数列 $\{r^n\}$ を含む数列の極限の不定形の解消は、次の２つの解法のパターンを覚えておきましょう。
■ 分母が $\infty-\infty$ の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{3^n-2^n}$$このままだと、分母が $\infty-\infty$ の不定形となります。
分母の数値が一番大きい $3^n$ で、分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^2}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$\left({\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)^n\to 0$ となるので、$$~=\frac{1}{1-0}$$$$~=1$$よって、$1$ に収束します。

■ $\infty-\infty$ の不定形$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}(3^n-2^n)$$このままだと、$\infty-\infty$ の不定形となります。
数値が一番大きい $3^n$ ですべての項をくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}3^n\left(1-\frac{2^n}{3^n}\right)$$$$~=\lim_{n\to\infty}3^n \left\{ 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n \right\}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$\left({\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)^n\to 0$ となるので、$$~=\infty\cdot(1-0)$$$$~=\infty$$よって、正の無限大に発散します。

問題解説：不定形の解消③（等比数列）

問題解説(1)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{n\to\infty}\frac{\,3^{n+1}-2^n\,}{\,3^n+(-2)^n\,}$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\frac{\,3^{n+1}-2^n\,}{\,3^n+(-2)^n\,}$$このままだと、分子が $\infty-\infty$ の不定形となります。
分母の数値が一番大きい $3^n$ で、分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3^{n+1}}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}+{\Large \frac{(-2)^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{{\Large \frac{3\cdot 3^n}{3^n}}-{\Large \frac{2^n}{3^n}}}{{\Large \frac{3^n}{3^n}}+{\Large \frac{(-2)^n}{3^n}}}$$$$~=\lim_{n\to\infty}\frac{3-\left({\Large \frac{2}{3}}\right)^n}{1+\left(-{\Large \frac{2}{3}}\right)^n}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$\left({\Large\frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)^n\to 0$$~,~$$\left(-{\Large\frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)^n\to 0$ となるので、$$~=\frac{3-0}{1+0}$$$$~=3$$よって、答えは $3$ となります。

問題解説(2)

問題次の数列の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{n\to\infty}\left(3^n-5^n\right)$$

$$~~~~~~\lim_{n\to\infty}\left(3^n-5^n\right)$$このままだと、$\infty-\infty$ の不定形となります。
数値が一番大きい $5^n$ ですべての項をくくると、$$~=\lim_{n\to\infty}5^n\left(\frac{3^n}{5^n}-1\right)$$$$~=\lim_{n\to\infty}5^n\left\{ \left(\frac{3}{5}\right)^n-1 \right\}$$ここで、$n\to\infty$ のとき、$\left({\Large \frac{\,3\,}{\,5\,}}\right)^n\to 0$ となるので、$$~=\infty\cdot(0-1)$$$$~=-\infty$$よって、負の無限大に発散します。