関数の極限の解法
この不定形は、最高次数の項でくくると解消できることが多いです。
この不定形は、分母の最高次数の項で分母分子のすべての項を割ると解消できることが多いです。
この不定形は、分母分子をそれぞれ因数分解して約分を行い、既約分数式にすると解消できることが多いです。
問題解説：関数の極限
問題解説(1)
$$~~~~~~\lim_{x\to -1}(x^2-2x-3)$$$$~=(-1)^2-2\cdot(-1)-3$$$$~=1+2-3$$$$~=0$$よって、答えは \(0\) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x-3}{x+1}$$$$~=\frac{1^2-2\cdot 1-3}{1+1}$$$$~=\frac{1-2-3}{2}$$$$~=\frac{-4}{2}$$$$~=-2$$よって、答えは \(-2\) となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\lim_{x\to -\infty}(x^2+2x-3)$$このままだと、\(\infty -\infty\) の不定形となります。
最高次数の項 \(x^2\) でくくると、$$~=\lim_{x\to-\infty}x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$$\(x\to -\infty\) のとき、\(x^2\to\infty~,~{\Large \frac{1}{x}}\to 0~,~{\Large \frac{1}{x^2}}\to 0\) となることより、$$~=\infty\cdot(1+0+0)$$$$~=\infty$$よって、答えは \(\infty\) となります。
問題解説(4)
$$~~~~~~\lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分子を因数分解すると、$$~=\lim_{x\to1}\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}$$\((x-1)\) を約分すると、$$~=\lim_{x\to 1}(x+3)$$$$~=1+3$$$$~=4$$よって、答えは \(4\) となります。
問題解説(5)
$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2x+3}{x^2-1}$$このままだと、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最高次数の項 \(x^2\) で分母分子のすべての項をわり算すると、$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{{\Large \frac{x^2}{x^2}}+{\Large \frac{2x}{x^2}}+{\Large \frac{3}{x^2}}}{{\Large \frac{x^2}{x^2}}-{\Large \frac{1}{x^2}}}$$$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{1+{\Large \frac{2}{x}}+{\Large \frac{3}{x^2}}}{1-{\Large \frac{1}{x^2}}}$$\(x\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{x}}\to 0~,~{\Large \frac{1}{x^2}}\to 0\) となるので、$$~=\frac{1+0+0}{1-0}$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。
問題解説(6)
$$~~~~~~\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2+4x-5}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分母分子を因数分解すると、$$~=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+5)}$$\((x-1)\) で約分すると、$$~=\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{x+5}$$$$~=\frac{1^2+1+1}{1+5}$$$$~=\frac{3}{6}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。
今回のまとめ
関数の極限の不定形の解消方法を見ていきました。特に数列の極限ではなかった、\({\Large \frac{0}{0}}\) となる不定形で因数分解と約分を用いる方法を覚えておきましょう。
