分数関数の極限①

分数関数の極限の解法
問題解説：分数関数の極限①
今回のまとめ

分数関数の極限の解法

Point：分数関数のグラフと極限分数関数の極限は、その分数関数のグラフを描き、視覚的に解きましょう。
$(a)~x\to +0$ のときは、
$x$ 軸の正の部分から $x=0$ に近づいたときの $y$ の値を考えます。

$(b)~x\to -0$ のときは、
$x$ 軸の負の部分から $x=0$ に近づいたときの $y$ の値を考えます。

$(c)~x\to \infty$ のときは、
$x$ 軸の $+\infty$ に発散したときの $y$ の値を考えます。

$(d)~x\to -\infty$ のときは、
$x$ 軸の $-\infty$ に発散したときの $y$ の値を考えます。

問題解説：分数関数の極限①

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$ 関数 $f(x)={\large \frac{1}{x}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$

$f(x)={\large \frac{1}{x}}$ のグラフは次のようになります。

したがって、答えは
$(a)$より、$y\to \infty$ となるので、$$~{\large ①}~\lim_{x\to +0}\frac{1}{x}=\infty$$$(b)$より、$y\to -\infty$ となるので、$$~{\large ②}~\lim_{x\to -0}\frac{1}{x}=-\infty$$$(c)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ③}~\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$$(d)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ④}~\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0$$

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
${\small (2)}~$ 関数 $f(x)=-{\large \frac{1}{x}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$

$f(x)=-{\large \frac{1}{x}}$ のグラフは次のようになります。

したがって、答えは
$(a)$より、$y\to -\infty$ となるので、$$~{\large ①}~\lim_{x\to +0}-\frac{1}{x}=-\infty$$$(b)$より、$y\to \infty$ となるので、$$~{\large ②}~\lim_{x\to -0}-\frac{1}{x}=\infty$$$(c)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ③}~\lim_{x\to \infty}-\frac{1}{x}=0$$$(d)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ④}~\lim_{x\to -\infty}-\frac{1}{x}=0$$

問題解説(3)

問題次の問いに答えよ。
${\small (3)}~$ 関数 $f(x)={\large \frac{1}{x^2}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$

$f(x)={\large \frac{1}{x^2}}$ のグラフは次のようになります。

したがって、答えは
$(a)$より、$y\to \infty$ となるので、$$~{\large ①}~\lim_{x\to +0}\frac{1}{x^2}=\infty$$$(b)$より、$y\to \infty$ となるので、$$~{\large ②}~\lim_{x\to -0}\frac{1}{x^2}=\infty$$$(c)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ③}~\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$$$(d)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ④}~\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^2}=0$$

問題解説(4)

問題次の問いに答えよ。
${\small (4)}~$ 関数 $f(x)=-{\large \frac{1}{x^2}}$ について、次の極限を求めよ。$$~{\large ①}~ \lim_{x\to+0}f(x)~~~~~~{\large ②}~ \lim_{x\to-0}f(x)$$$$~{\large ③}~ \lim_{x\to \infty}f(x)~~~~~~~{\large ④}~ \lim_{x\to-\infty}f(x)$$

$f(x)=-{\large \frac{1}{x^2}}$ のグラフは次のようになります。

したがって、答えは
$(a)$より、$y\to -\infty$ となるので、$$~{\large ①}~\lim_{x\to +0}-\frac{1}{x^2}=-\infty$$$(b)$より、$y\to -\infty$ となるので、$$~{\large ②}~\lim_{x\to -0}-\frac{1}{x^2}=-\infty$$$(c)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ③}~\lim_{x\to \infty}-\frac{1}{x^2}=0$$$(d)$より、$y\to 0$ となるので、$$~{\large ④}~\lim_{x\to -\infty}-\frac{1}{x^2}=0$$

問題解説(5)

問題次の問いに答えよ。$${\small (5)}~\lim_{x\to2-0}\frac{1}{x-2}$$

$y={\large \frac{1}{x-2}}$ のグラフは、$y={\large \frac{1}{x}}$ のグラフを $x$ 軸方向に $+2$ 平行移動したものになるので、グラフは次のようになります。

これより、$x$ が負の方向から $2$ に近づくので、$$~~~\lim_{x\to2-0}\frac{1}{x-2}=-\infty$$よって、答えは $-\infty$ となります。

問題解説(6)

問題次の問いに答えよ。$${\small (6)}~\lim_{x\to-1-0}\left\{ -\frac{1}{(x+1)^2} \right\}$$

$y=\left\{ -{\large \frac{1}{(x+1)^2}} \right\}$ のグラフは、$y=-{\large \frac{1}{x^2}}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$ 平行移動したものになるので、グラフは次のようになります。

これより、$x$ が負の方向から $-1$ に近づくので、$$~~~\lim_{x\to-1-0}\left\{ -\frac{1}{(x+1)^2} \right\}=-\infty$$よって、答えは $-\infty$ となります。

問題解説(7)

問題次の問いに答えよ。$${\small (7)}~\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$$

$y=1+{\large \frac{1}{x^2}}$ のグラフは、$y={\large \frac{1}{x^2}}$ のグラフを $y$ 軸方向に $+1$ 平行移動したものになるので、グラフは次のようになります。

これより、$x$ が負に限りなく大きくなると、$1$ に近づくので、$$~~~\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1$$よって、答えは $1$ となります。