分数関数の不定形
(1) 分数式を通分や因数分解を用いて約分することで不定形を解消します。
(2) 分母の式で分子を割った、商と余りの式を用いて不定形を解消します。
・右側極限と左側極限$$~~~\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$$次のように、\(x\to a\) となってるときはその右側極限 \(x\to a+0\) と左側極限 \(x\to a-0\) の両方を求めます。
(1) その２つの極限値が一致するとき、
→ 極限値はその値となります。
(2) その２つの極限値が一致しないとき、
→ 極限値は存在しません。
問題解説：分数関数の極限②
問題解説(1)
$$~~~~~~\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x+1}\right)$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分数式を通分して計算すると、$$~=\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}\left\{ \frac{(x+1)-3}{3(x+1)} \right\}$$$$~=\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}\times\frac{x-2}{3(x+1)}$$\(x-2\) で約分すると、$$~=\lim_{x\to2}\frac{1}{3(x+1)}$$$$~=\frac{1}{3(2+1)}$$$$~=\frac{1}{9}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{9}}\) となります。
問題解説(2)
このままだと、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
\(x^2+3\) を \(x-1\) で割ると、商が \(x+1\) 余りが \(4\) となるので、$$~~~x^2+3=(x-1)(x+1)+4$$よって、$$~~~~~~\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3}{x-1}$$$$~=\lim_{x\to-\infty}\frac{(x-1)(x+1)+4}{x-1}$$$$~=\lim_{x\to-\infty}\left\{ \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{4}{x-1}\right\}$$$$~=\lim_{x\to-\infty}\left( x+1+\frac{4}{x-1}\right)$$ここで、\(x\to-\infty\) のとき、\(x+1\to-\infty~,~{\Large \frac{4}{x-1}}\to0\) となるので、$$~=-\infty$$よって、答えは \(-\infty\) となります。
問題解説(3)
右側極限を考えると、$$~~~~~~\lim_{x\to2+0}\frac{x^2-4}{|x-2|}$$\(x\to2+0\) より \(x-2>0\) となるので、$$~~~|x-2|=x-2$$よって、$$~=\lim_{x\to2+0}\frac{x^2-4}{x-2}$$分子を因数分解すると、$$~=\lim_{x\to2+0}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$$\(x-2\) で約分すると、$$~=\lim_{x\to2+0}(x+2)$$$$~=4~~~\cdots①$$
次に左側極限を考えると、$$~~~~~~\lim_{x\to2-0}\frac{x^2-4}{|x-2|}$$\(x\to2-0\) より \(x-2<0\) となるので、$$~~~|x-2|=-(x-2)$$よって、$$~=\lim_{x\to2-0}\frac{x^2-4}{-(x-2)}$$分子を因数分解すると、$$~=\lim_{x\to2-0}\left\{ -\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\right\}$$\(x-2\) で約分すると、$$~=\lim_{x\to2-0}\{-(x+2)\}$$$$~=-4~~~\cdots②$$
よって、①と②よりこの式の極限は存在しません。
問題解説(4)
このままだと、\({\Large \frac{a}{0}}\) の不定形となります。
\(x^2+3\) を \(x-1\) で割ると、商が \(x+1\) 余りが \(4\) となるので、$$~~~x^2+3=(x-1)(x+1)+4$$よって、$$~~~~~~\lim_{x\to1}\frac{x^2+3}{x-1}$$$$~=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)+4}{x-1}$$$$~=\lim_{x\to1}\left\{ \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{4}{x-1} \right\}$$$$~=\lim_{x\to1}\left( x+1+\frac{4}{x-1}\right)$$ここで、$$~~~\lim_{x\to1}\frac{4}{x-1}$$について、
右側極限は、$$~~~\lim_{x\to1+0}\frac{4}{x-1}=\infty$$左側極限は、$$~~~\lim_{x\to1-0}\frac{4}{x-1}=-\infty$$したがって、この式の極限は存在しないので、与式の極限も存在しません。
今回のまとめ
分数関数の極限での特別な式変形はそれぞれ覚えておきましょう。また、右側極限と左側極限が一致しないとき、その式の極限は存在しない点に注意しましょう。
