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指数関数と対数関数の極限②

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今回の問題は「指数関数と対数関数の極限②」です。

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}(2^x-5^x)$$$${\small (2)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3^{x+1}}{2^x+3^x}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}\left\{ \log_{2}{|4x+1|}-\log_{2}{|x+1|} \right\}$$

 

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指数関数と対数関数の極限の不定形

Point:指数関数と対数関数の極限の不定形指数関数と対数関数の極限の不定形は、

$${\large ①}~\infty-\infty~$$

指数関数で \(\infty-\infty\) となる場合は、最大の項でくくると解消できることが多いです。
 

$${\large ②}~\frac{\infty}{\infty}~$$

指数関数で \({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) となる場合は、分母の最大の項で分母分子のすべての項を割ると解消できることが多いです。
 
・対数関数の和・差
対数関数の和・差となっている場合は、真数の計算をしましょう。
\(a>0~,~a\neq1~,~M>0~,~N>0\) のとき、

$$\log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{MN}$$$$\log_{a}{M}-\log_{a}{N}=\log_{a}{\frac{M}{N}}$$

 

問題解説:指数関数と対数関数の極限②

問題解説(1)

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to\infty}(2^x-5^x)$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}(2^x-5^x)$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
最大の項 \(5^x\) でくくると、$$~=\lim_{x\to\infty}5^x\left(\frac{2^x}{5^x}-1\right)$$$$~=\lim_{x\to\infty}5^x\left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^x-1\right\}$$ここで、\(x\to\infty\) のとき \(\left( {\Large \frac{2}{5}} \right)^x\to 0\) となるので、$$~=\infty\cdot(0-1)$$$$~=-\infty$$よって、答えは \(-\infty\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{x\to\infty}\frac{3^{x+1}}{2^x+3^x}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}\frac{3^{x+1}}{2^x+3^x}$$このままだと、\({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
分母の最大の項 \(3^x\) で分母分子のすべての項を割ると、$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{{\Large \frac{3^{x+1}}{3^x}}}{{\Large \frac{2^x}{3^x}}+{\Large \frac{3^x}{3^x}}}$$$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{3\cdot{\Large \frac{3^{x}}{3^x}}}{{\Large \frac{2^x}{3^x}}+{\Large \frac{3^x}{3^x}}}$$$$~=\lim_{x\to\infty}\frac{3}{\left( {\Large \frac{2}{3}}\right)^x+1}$$ここで、\(x\to\infty\) のとき \(\left( {\Large \frac{2}{3}} \right)^x\to 0\) となるので、$$~=\frac{3}{0+1}$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}\left\{ \log_{2}{|4x+1|}-\log_{2}{|x+1|} \right\}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}\left\{ \log_{2}{|4x+1|}-\log_{2}{|x+1|} \right\}$$このままだと、\(\infty-\infty\) の不定形となります。
対数関数の計算より、$$~=\lim_{x\to\infty} \log_{2}{\frac{|4x+1|}{|x+1|}}$$$$~=\lim_{x\to\infty} \log_{2}{\left|\frac{4x+1}{x+1}\right|}$$真数部分が \({\Large \frac{\infty}{\infty}}\) の不定形となります。
真数部分の分母の最大次数の項 \(x\) で分母分子のすべての項を割ると、$$~=\lim_{x\to\infty} \log_{2}{\left|\frac{{\Large \frac{4x}{x}}+{\Large \frac{1}{x}}}{{\Large \frac{x}{x}}+{\Large \frac{1}{x}}}\right|}$$$$~=\lim_{x\to\infty} \log_{2}{\left|\frac{4+{\Large \frac{1}{x}}}{1+{\Large \frac{1}{x}}}\right|}$$\(x\to\infty\) のとき \({\Large \frac{1}{x}}\to 0\) となるので、$$~=\log_{2}{\left| \frac{4+0}{1+0} \right|}$$$$~=\log_{2}{4}$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。

 

今回のまとめ

式変形の必要な指数関数と対数関数の極限の求め方は、それぞれの問題別に不定形の解消方法を覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:関数の極限
このページは「高校数学Ⅲ:関数の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...