微分法の基本性質
\(s~,~t\) を \(x\) の関数とするとき、
「(微分)(そのまま)＋(そのまま)(微分)」と覚えておきましょう。
・商の微分
\(s~,~t\) を \(x\) の関数とするとき、
分子は「(微分)(そのまま)−(そのまま)(微分)」、分母は「(分母)^2」と覚えておきましょう。
・合成関数の微分
\(n\) を整数、\(t\) を \(x\) の関数とするとき、
元の次数を係数にかけて、次数が \(-1\) されます。また、「中の関数の微分をかける」のを忘れないようにしましょう。
問題解説：微分法の基本性質
問題解説(1)
$$\hspace{ 10 pt}y=x^5-2x^4+5x^3$$\(x\) について微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=5\cdot x^{5-1}-4\cdot2x^{4-1}+3\cdot5x^{3-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=5x^4-8x^3+15x^2$$よって、答えは $$~~~y’=5x^4-8x^3+15x^2$$ となります。
問題解説(2)
$$\hspace{ 5 pt}y=(x^2+1)(3x-2)$$積の微分を用いると、$$\hspace{ 5 pt}y’=(x^2+1)'(3x-2)+(x^2+1)(3x-2)’$$$$\hspace{ 16 pt}=2x\cdot(3x-2)+(x^2+1)\cdot 3$$$$\hspace{ 16 pt}=6x^2-4x+3x^2+3$$$$\hspace{ 16 pt}=9x^2-4x+3$$よって、答えは $$~~~y’=9x^2-4x+3$$ となります。
問題解説(3)
$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{x^2}{x-1}$$商の微分を用いると、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{(x^2)'(x-1)-(x^2)(x-1)’}{(x-1)^2}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{2x\cdot(x-1)-x^2\cdot1}{(x-1)^2}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}$$$$\hspace{21pt}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$$$$\hspace{21pt}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$よって、答えは $$~~~y’=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$ となります。
問題解説(4)
$$\hspace{ 10 pt}y=(2x-3)^3$$\(x\) について微分すると、中の関数の微分をかけるので、$$\hspace{ 10 pt}y’=3\cdot(2x-3)^{3-1}\cdot(2x-3)’$$$$\hspace{ 21 pt}=3(2x-3)^2\cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=6(2x-3)^2$$よって、答えは$$~~~y’=6(2x-3)^2$$となります。
問題解説(5)
$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{(2x-3)^2}$$$$\hspace{ 18 pt}=(2x-3)^{-2}$$\(x\) について微分すると、中の関数の微分をかけるので、$$\hspace{ 10 pt}y’=-2\cdot (2x-3)^{-2-1}\cdot(2x-3)’$$$$\hspace{ 21 pt}=-2(2x-3)^{-3}\cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=-4(2x-3)^{-3}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{4}{(2x-3)^3}$$よって、答えは$$~~~y’=-\frac{4}{(2x-3)^3}$$となります。
今回のまとめ
合成関数の微分は今後の基本となります。「中の微分をかける」を覚えておきましょう。また、積の微分と商の微分も使えるようになりましょう。
