三角関数の微分の解法
合成関数の微分をかけるのを忘れないようにしましょう。
また、次数の高い三角関数は \(n\) 次関数として考えて微分しましょう。
問題解説：三角関数の微分
問題解説(1)
$$\hspace{ 10 pt}y=\sin{3x}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=\cos{3x} \cdot (3x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=\cos{3x} \cdot 3$$$$\hspace{ 21 pt}=3\cos{3x}$$よって、答えは$$~~~y’=3\cos{3x}$$となります。
問題解説(2)
$$\hspace{ 10 pt}y=\cos{(2x+1)}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=-\sin{(2x+1)} \cdot (2x+1)’$$$$\hspace{ 21 pt}=-\sin{(2x+1)} \cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=-2\sin{(2x+1)}$$よって、答えは$$~~~y’=-2\sin{(2x+1)}$$となります。
問題解説(3)
$$\hspace{ 10 pt}y=\sin^3{x}$$$$\hspace{ 18 pt}=(\sin{x})^3$$\(x\) について微分すると、３次関数として微分するので、$$\hspace{ 10 pt}y’=3\cdot (\sin{x})^{3-1} \cdot (\sin{x})’$$$$\hspace{ 21 pt}=3(\sin{x})^2 \cdot \cos{x}$$$$\hspace{ 21 pt}=3\sin^2{x} \cos{x}$$よって、答えは$$~~~y’=3\sin^2{x} \cos{x}$$となります。
問題解説(4)
$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{1}{\tan{2x}}$$$$\hspace{ 18 pt}=(\tan{2x})^{-1}$$\(x\) について微分すると、\(x^p\) の関数として微分するので、$$\hspace{ 10 pt}y’=-1\cdot (\tan{2x})^{-1-1} \cdot (\tan{2x})’$$$$\hspace{ 21 pt}=-(\tan{2x})^{-2} \cdot \frac{1}{\cos^2{2x}} \cdot (2x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{1}{\tan^2{2x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{2x}} \cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{\cos^2{2x}}{\sin^2{2x}} \cdot \frac{2}{\cos^2{2x}}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2}{\sin^2{2x}}$$よって、答えは$$~~~y’=-\frac{2}{\sin^2{2x}}$$となります。
問題解説(5)
$$\hspace{ 10 pt}y=\sin{2x}\cos{2x}$$\(x\) について微分すると、積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=(\sin{2x})’\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})’$$合成関数の微分より、$$\hspace{ 21 pt}=\cos{2x}\cdot (2x)’ \cos{2x}$$$$\hspace{50pt}+\sin{2x}(-\sin{2x}) \cdot (2x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x}$$よって、答えは$$~~~y’=2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x}$$となります。
【別解】
２倍角の公式より、$$~~~\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}$$\(\theta=2x\) とすると、$$~~~\sin{4x}=2\sin{2x}\cos{2x}$$よって、$$~~~\sin{2x}\cos{2x}=\frac{1}{2}\sin{4x}$$これより、$$\hspace{ 10 pt}y=\sin{2x}\cos{2x}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{1}{2}\sin{4x}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=\frac{1}{2}\cos{4x}\cdot(4x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{1}{2}\cos{4x} \cdot 4$$$$\hspace{ 21 pt}=2\cos{4x}$$よって、答えは$$~~~y’=2\cos{4x}$$となります。
別解の答えの形が違いますが、２倍角の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}2\cos{4x}=2(\cos^2{2x}-\sin^2{2x})$$$$\hspace{ 46 pt}=2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x}$$これより、同じ解となります。
問題解説(6)
$$\hspace{ 10 pt}y=x^2\cos{3x}$$\(x\) について微分すると、積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=(x^2)’\cos{3x}+x^2(\cos{3x})’$$合成関数の微分より、$$\hspace{ 21 pt}=2x\cos{3x}+x^2(-\sin{3x})\cdot(3x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=2x\cos{3x}-3x^2\sin{3x}$$よって、答えは$$~~~y’=2x\cos{3x}-3x^2\sin{3x}$$となります。
今回のまとめ
三角関数の微分は公式とその解法のパターンを覚えておきましょう。合成関数の微分には注意しましょう。
