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不定積分の基本

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今回の問題は「不定積分の基本」です。

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (x^4-5x^3)dx$$$${\small (2)}~\int \sqrt[{\large 3}]{x^2}dx$$$${\small (3)}~\int \frac{(2x-1)^2}{x^2} dx$$$${\small (4)}~\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}} dx$$

 

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不定積分の基本と計算

Point:不定積分の基本性質\(k,l\) を定数とするとき、

$$~~~~~~\int \{ kf(x)+lg(x) \} dx~~$$$$~=k \int f(x) dx+l \int g(x) dx~~$$

このように、和や差は複数の積分に分けることができます。また、定数は係数としてインテグラルの前に出すことができます。

Point:不定積分の計算

\(n\) を有理数とするとき、\(x^n\) の積分は、
( ⅰ ) \(n\neq -1\) のとき、( \(C\) は積分定数)

$$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

次数が1つ上がり、上がった次数の逆数を係数にかけ算します。
( ⅱ ) \(n=-1\) のとき、、( \(C\) は積分定数)

$$\int x^{-1} dx= \int \frac{1}{x} dx=\log |x|+C$$

 

問題解説:不定積分の基本

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (x^4-5x^3)dx$$

$$~~~~~~\int (x^4-5x^3)dx$$$$~=\int x^4dx -5 \int x^3dx$$$$~=\frac{1}{4+1}x^{4+1}-5\cdot\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C$$$$~=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+C$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \sqrt[{\large 3}]{x^2}dx$$

$$~~~~~~\int \sqrt[{\large 3}] {x^2} dx$$式を \(x^n\) で表すと、$$~=\int x^{\large \frac{2}{3}}dx$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{2}{3}}+1}x^{{\large \frac{2}{3}}+1}+C$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{5}{3}}}x^{\large \frac{5}{3}}+C$$$$~=\frac{3}{5}x^{\large \frac{5}{3}}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、 $$~~~\frac{3}{5}x^{\large \frac{5}{3}}+C$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \frac{(2x-1)^2}{x^2} dx$$

$$~~~~~~\int \frac{(2x-1)^2}{x^2} dx$$分子を展開すると、$$~=\int \frac{4x^2-4x+1}{x^2} dx$$分子の各項を \(x^2\) で割ると、$$~=\int \left( \frac{4x^2}{x^2}-\frac{4x}{x^2}+\frac{1}{x^2} \right) dx$$$$~=\int \left( 4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2} \right) dx$$$$~=\int 4 dx-\int \frac{4}{x} dx +\int \frac{1}{x^2} dx$$$$~=\int 4 dx -4\int x^{-1} dx + \int x^{-2} dx$$$$~=4x-4 \log |x|+\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$$$$~=4x-4 \log |x|+\frac{1}{-1}x^{-1}+C$$$$~=4x-4 \log |x|-\frac{1}{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、 $$~~~4x-4 \log |x|-\frac{1}{x}+C$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (4)}~\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}} dx$$

$$~~~~~~\int \frac{3x+2}{\sqrt{x}}$$分子の各項を \(\sqrt{x}=x^{\large \frac{1}{2}}\) で割ると、$$~=\int \left( \frac{3x}{x^{\large \frac{1}{2}}}+ \frac{2}{x^{\large \frac{1}{2}}} \right)dx$$$$~=\int \left( \frac{3x}{x^{\large \frac{1}{2}}}\right)dx+\int \left(\frac{2}{x^{\large \frac{1}{2}}} \right)dx$$$$~=3\int x^{1-{\large \frac{1}{2}}}dx+2\int x^{-{\large \frac{1}{2}}}dx$$$$~= 3\int x^{\large \frac{1}{2}}dx+2\int x^{-{\large \frac{1}{2}}}dx$$$$~=3\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}+1}x^{{\large \frac{1}{2}}+1}+ 2\frac{1}{-{\large \frac{1}{2}}+1}x^{-{\large \frac{1}{2}}+1}+C$$$$~=3\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}}x^{\large \frac{3}{2}}+2\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}}x^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~= 3\cdot\frac{2}{3}x^{\large \frac{3}{2}}+2\cdot\frac{2}{1}x^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~=2x^{\large \frac{3}{2}}+4x^{\large \frac{1}{2}}+C$$$$~=2\sqrt{x^3}+4\sqrt{x}+C$$$$~=2x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、 $$~~~2x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C$$となります。

 

今回のまとめ

不定積分の基本は、\(x^n\) で表してそれぞれの項の積分に分けて計算しましょう。また、積分定数の書き忘れには注意しましょう。

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