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合成関数の積分

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今回の問題は「合成関数の積分」です。

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (3x-2)^3 dx$$$${\small (2)}~\int \frac{1}{3x-2} dx$$$${\small (3)}~\int \sqrt{3x-2} dx$$

 

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合成関数・分数関数・無理関数の積分

Point:合成関数の積分\(t\) を \(x\) の関数、\(n\) を有理数とするとき、
( ⅰ ) \(n\neq-1\) のとき、( \(C\) は積分定数)

$$\int t^n dx=\frac{1}{n+1}\cdot t^{n+1}\cdot\frac{1}{t’}+C$$

合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。
 
( ⅱ ) \(n=-1\) のとき、( \(C\) は積分定数)

$$\int t^{-1} dx=\int \frac{1}{t} dx=(\log |t|)\cdot\frac{1}{t’}+C$$

合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。

Point:分数関数と無理関数の積分

与えられた関数を \(t^n\) の形に式変形して、\(t^n\) の積分として計算しましょう。
分数関数は、

$$\frac{1}{t^n}=t^{-n}$$

無理関数は、

$$\sqrt[{\large m}]{t^n}=t^{\large \frac{n}{m}}$$

これらを用いて式変形しましょう。

 

問題解説:合成関数の積分

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (3x-2)^3 dx$$

$$~~~~~~\int (3x-2)^3 dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\frac{1}{3+1}(3x-2)^{3+1}\cdot \frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=\frac{1}{4}(3x-2)^4\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{1}{12}(3x-2)^4+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{12}(3x-2)^4+C$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \frac{1}{3x-2} dx$$

$$~~~~~~\int \frac{1}{3x-2} dx$$ \(t^n\) の形に式変形すると、$$~=\int (3x-2)^{-1} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=(\log |3x-2| )\cdot\frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=(\log |3x-2| )\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{1}{3}\log |3x-2|+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{3}\log |3x-2|+C$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \sqrt{3x-2} dx$$

$$~~~~~~\int \sqrt{3x-2} dx$$ \(t^n\) の形に式変形すると、$$~=\int (3x-2)^{\large \frac{1}{2}} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}+1}(3x-2)^{{\large \frac{1}{2}}+1}\cdot\frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{1}{2}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{1}{2}\sqrt{(3x-2)^3}+C$$$$~=\frac{1}{2}(3x-2)\sqrt{3x-2}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{2}(3x-2)\sqrt{3x-2}+C$$となります。

 

今回のまとめ

合成関数の積分では中の微分の逆数をかけることを忘れないようにしましょう。また、分数関数や無理関数は \(t^n\) に式変形して積分するのがポイントとなります。

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