合成関数の積分

2018.07.092020.06.09

合成関数・分数関数・無理関数の積分
問題解説：合成関数の積分
今回のまとめ

合成関数・分数関数・無理関数の積分

Point：合成関数の積分$t$ を $x$ の関数、$n$ を有理数とするとき、
( ⅰ ) $n\neq-1$ のとき、（ $C$ は積分定数）

$$\int t^n dx=\frac{1}{n+1}\cdot t^{n+1}\cdot\frac{1}{t’}+C$$

合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。

( ⅱ ) $n=-1$ のとき、（ $C$ は積分定数）

$$\int t^{-1} dx=\int \frac{1}{t} dx=(\log |t|)\cdot\frac{1}{t’}+C$$

合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。

Point：分数関数と無理関数の積分

与えられた関数を $t^n$ の形に式変形して、$t^n$ の積分として計算しましょう。
分数関数は、

$$\frac{1}{t^n}=t^{-n}$$

無理関数は、

$$\sqrt[{\large m}]{t^n}=t^{\large \frac{n}{m}}$$

これらを用いて式変形しましょう。

問題解説：合成関数の積分

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (3x-2)^3 dx$$

$$~~~~~~\int (3x-2)^3 dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\frac{1}{3+1}(3x-2)^{3+1}\cdot \frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=\frac{1}{4}(3x-2)^4\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{1}{12}(3x-2)^4+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~\frac{1}{12}(3x-2)^4+C$$となります。

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \frac{1}{3x-2} dx$$

$$~~~~~~\int \frac{1}{3x-2} dx$$ $t^n$ の形に式変形すると、$$~=\int (3x-2)^{-1} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=(\log |3x-2| )\cdot\frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=(\log |3x-2| )\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{1}{3}\log |3x-2|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~\frac{1}{3}\log |3x-2|+C$$となります。

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \sqrt{3x-2} dx$$

$$~~~~~~\int \sqrt{3x-2} dx$$ $t^n$ の形に式変形すると、$$~=\int (3x-2)^{\large \frac{1}{2}} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\frac{1}{{\large \frac{1}{2}}+1}(3x-2)^{{\large \frac{1}{2}}+1}\cdot\frac{1}{(3x-2)’}+C$$$$~=\frac{1}{{\large \frac{3}{2}}}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{3}+C$$$$~=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{9}(3x-2)^{\large \frac{3}{2}}+C$$$$~=\frac{2}{9}\sqrt{(3x-2)^3}+C$$$$~=\frac{2}{9}(3x-2)\sqrt{3x-2}+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~\frac{2}{9}(3x-2)\sqrt{3x-2}+C$$となります。