分数関数の積分

分数関数の積分の解法
問題解説：分数関数の積分
今回のまとめ

分数関数の積分の解法

Point：分数関数の積分(1) 分子が分母を微分した式のとき、$$~~~\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|+C$$
(2) 分子の次数 > 分母の次数
分子を分母で割った式より、分数式を分けて積分します。例えば、$$~~~~~~\frac{x^2+4x+1}{x+1}$$$$~=\frac{(x+1)(x+3)-2}{x+1}$$$$~=x+3-\frac{2}{x+1}$$
(3) 部分分数に分ける$$~~~\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$$$$~~~\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1} \right)$$これらの式を用いて、部分分数に分けて積分します。

(4) 分数の恒等式の計算を用いる。$$~~~\frac{x}{(x+1)(x-2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}$$この恒等式より、$a,b$ の値を求めて、２つの分数式に分けて積分します。

問題解説：分数関数の積分

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int \frac{2x-3}{x^2-3x+5}dx$$

分子が分母を微分した式となっているので、$$~~~~~~\int \frac{(x^2-3x+5)’}{x^2-3x+5} dx$$$$~=\log |x^2-3x+5|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ \log |x^2-3x+5|+C $$となります。

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \tan{x} dx$$

相互関係の公式より、$$~~~~~~\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx$$分子が分母を微分した式となっているので、 $$~=\int \frac{-(\cos{x})’}{\cos{x}} dx$$$$~=-\log |\cos{x}|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ -\log |\cos{x}|+C $$となります。

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \frac{x^2-3x+5}{x-1} dx$$

分子を $x-1$ で割ると、商が $x-2$、余りが $3$ となるので、$$~~~~~~\int \frac{(x-1)(x-2)+3}{x-1} dx$$$$~=\int \left\{ \frac{(x-1)(x-2)}{x-1}+ \frac{3}{x-1} \right\} dx$$$$~=\int \left( x-2+\frac{3}{x-1} \right)dx$$$$~=\int x dx-2\int dx +\int \frac{3}{x-1} dx$$$$~=\frac{1}{2}x^2-2x+3\log |x-1|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}x^2-2x+3\log |x-1|+C $$となります。

問題解説(4)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (4)}~\int \frac{dx}{x^2-1}$$

分母を因数分解した式を考えると、$$~~~\frac{1}{(x-1)(x+1)}$$ここで、$$~~~~~~\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$この式を通分すると、$$~=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$$$~= \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}$$$$~= \frac{2}{(x-1)(x+1)}$$よって、この式より$$~~~\frac{2}{(x-1)(x+1)}= \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$両辺を $2$ で割ると、$$~~~\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)$$この式を用いて、与式を式変形すると、$$~~~~~~\int \frac{dx}{x^2-1} dx$$$$~=\int \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) dx$$$$~=\frac{1}{2}\left( \int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{1}{x+1}dx\right)$$$$~=\frac{1}{2}(\log |x-1|-\log |x+1|)+C$$$$~=\frac{1}{2}\log \frac{|x-1|}{|x+1|} +C$$$$~=\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C $$となります。

問題解説(5)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (5)}~\int \frac{x}{x^2+x-6}dx$$

分母を因数分解し、次のようにおくと、$$~~~\frac{x}{(x+3)(x-2)}=\frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-2}$$両辺に $(x+3)(x-2)$ をかけると、$$~~~~~x=a(x-2)+b(x+3)$$$$~~~~~x=ax-2a+bx+3b$$$$~~~~~x=(a+b)x+(-2a+3b)$$両辺の係数を比較すると、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} a+b=1~\cdots{\large ①} \\ -2a+3b=0~\cdots{\large ②} \end{eqnarray}$$ここで、①×２＋②より、$$~2(a+b)+(-2a+3b)=2\cdot1+0$$$$\hspace{ 20 pt}2a+2b-2a+3b=2$$式を整理して両辺を $5$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}5b=2$$$$\hspace{ 15 pt}b=\frac{2}{5}$$これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}a+\frac{2}{5}=1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a=1-\frac{2}{5}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{3}{5}$$これより、与式を式変形すると、$$~~~~~~\int \frac{x}{x^2+x-6}dx$$$$~=\int \left( \frac{3}{5}\frac{1}{x+3}+\frac{2}{5}\frac{1}{x-2} \right)dx$$$$~=\frac{3}{5} \int \frac{1}{x+3}dx+\frac{2}{5} \int \frac{1}{x-2} dx$$$$~=\frac{3}{5}\log |x+3|+\frac{2}{5} \log |x-2|+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ \frac{3}{5}\log |x+3|+\frac{2}{5} \log |x-2|+C $$となります。