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三角関数の積分③

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今回の問題は「三角関数の積分③」です。

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int \sin^2{\frac{x}{2}} dx$$$${\small (2)}~\int \cos^2{2x} dx$$$${\small (3)}~\int \sin{x}\cos{x} dx$$$${\small (4)}~\int \sin{2x}\cos{3x} dx$$$${\small (5)}~\int \sin{2x}\sin{3x}dx$$$${\small (6)}~\int\cos{2x}\cos{3x}dx$$

 

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次数を下げる三角関数の積分

Point:三角関数の次数を下げる公式次の公式を用いて、2次式から1次式にして積分の計算しましょう。
(1) \(\sin^2{x}\)
半角の公式より、

$$\sin^2{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2}$$

 
(2) \(\cos^2{x}\)
半角の公式より、

$$\cos^2{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2}$$

 
(3) \(\sin{x}\cos{x}\) (2つの角が同じ)
2倍角の公式より、

$$\sin{x}\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$$

 
(4) \(\sin{\alpha}\cos{\beta}\) (2つの角が異なる)
積を和にする公式より、

$$\sin{\alpha}\cos{\beta}$$$$~~=\frac{\sin{(\alpha+\beta)}}{2}+\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{2}~~$$

 
(5) \(\sin{\alpha}\sin{\beta}\) (2つの角が異なる)
積を和にする公式より、

$$\sin{\alpha}\sin{\beta}$$$$~~=-\frac{\cos{(\alpha+\beta)}}{2}+\frac{\cos{(\alpha-\beta)}}{2}~~$$

 
(6) \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) (2つの角が異なる)
積を和にする公式より、

$$\cos{\alpha}\cos{\beta}$$$$~~=\frac{\cos{(\alpha+\beta)}}{2}+\frac{\cos{(\alpha-\beta)}}{2}~~$$

 
積を和にする公式は、次の表で覚えておきましょう。

\(\alpha+\beta\) \(\alpha-\beta\)
\(\sin{\alpha}\cos{\beta}\) \({\Large \frac{\sin{}}{2}}\) \({\Large \frac{\sin{}}{2}}\)
\(\sin{\alpha}\sin{\beta}\) \(-{\Large \frac{\cos{}}{2}}\) \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\)
\(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\) \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\)

 

問題解説:三角関数の積分③

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int \sin^2{\frac{x}{2}} dx$$

半角の公式より、$$~~~\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin^2{\frac{x}{2}} dx$$$$~=\int \frac{1-\cos{x}}{2} dx$$$$~=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \cos^2{2x} dx$$

半角の公式より、$$~~~\cos^2{2x}=\frac{1+\cos{4x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~\int \cos^2{2x} dx$$$$~=\int \frac{1+\cos{4x}}{2} dx$$$$~=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2} \int \cos{4x}dx$$$$~=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin{4x}\cdot\frac{1}{(4x)’}+C$$$$~=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C $$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \sin{x}\cos{x} dx$$

2倍角の公式より、$$~~~\sin{x}\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin{x}\cos{x} dx$$$$~=\int \frac{\sin{2x}}{2}dx$$$$~=\frac{1}{2}\int\sin{2x}dx$$$$~=\frac{1}{2}(-\cos{2x})\cdot\frac{1}{(2x)’}+C$$$$~=-\frac{1}{4}\cos{2x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{4}\cos{2x}+C $$となります。

 

問題解説(4)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (4)}~\int \sin{2x}\cos{3x} dx$$

積を和にする公式より、$$~~~~~~\sin{2x}\cos{3x}$$$$~=\frac{\sin{(2x+3x)}}{2}+\frac{\sin{(2x-3x)}}{2}$$$$~=\frac{1}{2}\{\sin{5x}+\sin{(-x)}\}$$$$~=\frac{1}{2}(\sin{5x}-\sin{x})$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin{2x}\cos{3x} dx$$$$~=\int \frac{1}{2}(\sin{5x}-\sin{x})dx$$$$~=\frac{1}{2}\int \sin{5x}dx-\frac{1}{2}\int\sin{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}(-\cos{5x})\cdot\frac{1}{(5x)’}-\frac{1}{2}(-\cos{x})+C$$$$~=-\frac{1}{10}\cos{5x}+\frac{1}{2}\cos{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{10}\cos{5x}+\frac{1}{2}\cos{x}+C $$となります。

 

問題解説(5)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (5)}~\int \sin{2x}\sin{3x}dx$$

積を和にする公式より、$$~~~~~~\sin{2x}\sin{3x}$$$$~=-\frac{\cos{(2x+3x)}}{2}+\frac{\cos{(2x-3x)}}{2}$$$$~=-\frac{1}{2}\{\cos{5x}-\cos{(-x)}\}$$$$~=-\frac{1}{2}(\cos{5x}-\cos{x})$$これを用いると、$$~~~~~~\int \sin{2x}\sin{3x}dx$$$$~=\int -\frac{1}{2}(\cos{5x}-\cos{x})dx$$$$~=-\frac{1}{2}\int\cos{5x}dx+\frac{1}{2}\int\cos{x}dx$$$$~=-\frac{1}{2}\sin{5x}\cdot\frac{1}{(5x)’}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$$$~=-\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。

 

問題解説(6)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (6)}~\int\cos{2x}\cos{3x}dx$$

積を和にする公式より、$$~~~~~~\cos{2x}\cos{3x}$$$$~=\frac{\cos{(2x+3x)}}{2}+\frac{\cos{(2x-3x)}}{2}$$$$~=\frac{1}{2}\{\cos{5x}+\cos{(-x)}\}$$$$~=\frac{1}{2}(\cos{5x}+\cos{x})$$これを用いると、$$~~~~~~\int \cos{2x}\cos{3x}dx$$$$~=\int \frac{1}{2}(\cos{5x}+\cos{x})dx$$$$~=\frac{1}{2}\int\cos{5x}dx+\frac{1}{2}\int\cos{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}\sin{5x}\cdot\frac{1}{(5x)’}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$$$~=\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の次数を下げる公式は種類が多く覚えるのが大変ですが、積分を計算する上で重要ですので繰り返し練習して覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:積分法
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