次数を下げる三角関数の積分
(1) \(\sin^2{x}\)
半角の公式より、
(2) \(\cos^2{x}\)
半角の公式より、
(3) \(\sin{x}\cos{x}\) （２つの角が同じ）
２倍角の公式より、
(4) \(\sin{\alpha}\cos{\beta}\) （２つの角が異なる）
積を和にする公式より、
(5) \(\sin{\alpha}\sin{\beta}\) （２つの角が異なる）
積を和にする公式より、
(6) \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) （２つの角が異なる）
積を和にする公式より、
積を和にする公式は、次の表で覚えておきましょう。
| \(\alpha+\beta\) | \(\alpha-\beta\) | |
| \(\sin{\alpha}\cos{\beta}\) | \({\Large \frac{\sin{}}{2}}\) | \({\Large \frac{\sin{}}{2}}\) |
| \(\sin{\alpha}\sin{\beta}\) | \(-{\Large \frac{\cos{}}{2}}\) | \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\) |
| \(\cos{\alpha}\cos{\beta}\) | \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\) | \({\Large \frac{\cos{}}{2}}\) |
問題解説：三角関数の積分③
問題解説(1)
半角の公式より、$$~~~\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin^2{\frac{x}{2}} dx$$$$~=\int \frac{1-\cos{x}}{2} dx$$$$~=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。
問題解説(2)
半角の公式より、$$~~~\cos^2{2x}=\frac{1+\cos{4x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~\int \cos^2{2x} dx$$$$~=\int \frac{1+\cos{4x}}{2} dx$$$$~=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2} \int \cos{4x}dx$$$$~=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin{4x}\cdot\frac{1}{(4x)’}+C$$$$~=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C $$となります。
問題解説(3)
２倍角の公式より、$$~~~\sin{x}\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin{x}\cos{x} dx$$$$~=\int \frac{\sin{2x}}{2}dx$$$$~=\frac{1}{2}\int\sin{2x}dx$$$$~=\frac{1}{2}(-\cos{2x})\cdot\frac{1}{(2x)’}+C$$$$~=-\frac{1}{4}\cos{2x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{4}\cos{2x}+C $$となります。
問題解説(4)
積を和にする公式より、$$~~~~~~\sin{2x}\cos{3x}$$$$~=\frac{\sin{(2x+3x)}}{2}+\frac{\sin{(2x-3x)}}{2}$$$$~=\frac{1}{2}\{\sin{5x}+\sin{(-x)}\}$$$$~=\frac{1}{2}(\sin{5x}-\sin{x})$$これを用いると、$$~~~~~~ \int \sin{2x}\cos{3x} dx$$$$~=\int \frac{1}{2}(\sin{5x}-\sin{x})dx$$$$~=\frac{1}{2}\int \sin{5x}dx-\frac{1}{2}\int\sin{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}(-\cos{5x})\cdot\frac{1}{(5x)’}-\frac{1}{2}(-\cos{x})+C$$$$~=-\frac{1}{10}\cos{5x}+\frac{1}{2}\cos{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{10}\cos{5x}+\frac{1}{2}\cos{x}+C $$となります。
問題解説(5)
積を和にする公式より、$$~~~~~~\sin{2x}\sin{3x}$$$$~=-\frac{\cos{(2x+3x)}}{2}+\frac{\cos{(2x-3x)}}{2}$$$$~=-\frac{1}{2}\{\cos{5x}-\cos{(-x)}\}$$$$~=-\frac{1}{2}(\cos{5x}-\cos{x})$$これを用いると、$$~~~~~~\int \sin{2x}\sin{3x}dx$$$$~=\int -\frac{1}{2}(\cos{5x}-\cos{x})dx$$$$~=-\frac{1}{2}\int\cos{5x}dx+\frac{1}{2}\int\cos{x}dx$$$$~=-\frac{1}{2}\sin{5x}\cdot\frac{1}{(5x)’}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$$$~=-\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。
問題解説(6)
積を和にする公式より、$$~~~~~~\cos{2x}\cos{3x}$$$$~=\frac{\cos{(2x+3x)}}{2}+\frac{\cos{(2x-3x)}}{2}$$$$~=\frac{1}{2}\{\cos{5x}+\cos{(-x)}\}$$$$~=\frac{1}{2}(\cos{5x}+\cos{x})$$これを用いると、$$~~~~~~\int \cos{2x}\cos{3x}dx$$$$~=\int \frac{1}{2}(\cos{5x}+\cos{x})dx$$$$~=\frac{1}{2}\int\cos{5x}dx+\frac{1}{2}\int\cos{x}dx$$$$~=\frac{1}{2}\sin{5x}\cdot\frac{1}{(5x)’}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$$$~=\frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{10}\sin{5x}+\frac{1}{2}\sin{x}+C $$となります。
今回のまとめ
三角関数の次数を下げる公式は種類が多く覚えるのが大変ですが、積分を計算する上で重要ですので繰り返し練習して覚えておきましょう。
