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定積分の置換積分法①

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今回の問題は「定積分の置換積分法①」です。

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{0}x\sqrt{x+2}dx$$$${\small (2)}~\int_{{\large \frac{\pi}{2}}}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}dx$$$${\small (3)}~\int_{1}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}dx$$

 

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置換積分法を用いた定積分

Point:定積分の置換積分法そのままでは積分しにくい式を \(t\) の関数で置き換えて積分する方法を置換積分法といいます。
解法の手順は、
① 関数 \(f(x)\) の一部を \(t\) で置き換えます。
② 置き換えた式を微分して、\(dx\) と \(dt\) の関係式を作ります。
③ \(x\) の区間から①で置き換えた式を用いて、\(t\) の区間を求めます。
④ 与えられた積分の式を \(t\) の積分の式に置き換えます。このとき、\(dx\) と区間も置き換えます。
\(t\) の式の定積分として計算します。

 

問題解説:定積分の置換積分法①

問題解説(1)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{0}x\sqrt{x+2}dx$$

\(t=\sqrt{x+2}~\cdots{\large ①}\) として、両辺を2乗して移項すると、$$\hspace{ 10 pt}t^2=x+2$$$$\hspace{ 10 pt}x=t^2-2~\cdots{\large ②}$$両辺を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=2t$$$$\hspace{ 12 pt}dx=2tdt~\cdots{\large ③}$$また、\(x=-2\) のとき、$$~~~t=\sqrt{-2+2}=0$$\(x=0\) のとき、$$~~~t=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$$したがって、$$~~~x~|~-2~\to~0$$$$~~~t~~|~ 0~\to~\sqrt{2}$$以上より、与式を①〜③を用いて置換すると、$$~~~~~~ \int_{-2}^{0}x\sqrt{x+2}dx$$$$~=\int_{0}^{\sqrt{2}}(t^2-2)\cdot t \cdot 2tdt$$$$~= \int_{0}^{\sqrt{2}}(2t^4-4t^2)dt$$$$~=\left[ \frac{2}{5}t^5-\frac{4}{3}t^3 \right]_{0}^{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{2}{5}(\sqrt{2})^5-\frac{4}{3}(\sqrt{2})^3$$$$~=\frac{8}{5}\sqrt{2}-\frac{8}{3}\sqrt{2}$$$$~=\frac{24-40}{15}\sqrt{2}$$$$~=-\frac{16}{15}\sqrt{2}$$よって、答えは$$~~~ -\frac{16}{15}\sqrt{2}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int_{{\large \frac{\pi}{2}}}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}dx$$

\(t=\sin{x}~\cdots{\large ①}\) とし、両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dt}{dx}=\cos{x}$$$$\hspace{ 12 pt}dt=\cos{x}dx~\cdots{\large ②}$$また、\(x={\large \frac{\pi}{2}}\) のとき、$$~~~t=\sin{\frac{\pi}{2}}=1$$\(x=\pi\) のとき、$$~~~t=\sin{\pi}=0$$したがって、$$~~~x~|~ \frac{\pi}{2}~\to~\pi$$$$~~~t~~|~ 1~\to~0$$以上より、与式を①、②を用いて置換すると、$$~~~~~~ \int_{{\large \frac{\pi}{2}}}^{\pi}\sin^2{x}\cos{x}dx$$$$~=\int_{1}^{0}t^2dt$$$$~=\left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{1}^{0}$$$$~=\frac{1}{3}(0^3-1^3)$$$$~=-\frac{1}{3}$$よって、答えは$$~~~-\frac{1}{3}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int_{1}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}dx$$

\(t=\log x~\cdots{\large ①}\) とし、両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$$$$\hspace{ 12 pt}dt=\frac{1}{x}dx~\cdots{\large ②}$$また、\(x=1\) のとき、$$~~~t=\log 1=0$$\(x=e\) のとき、$$~~~t=\log e=1$$したがって、$$~~~x~|~ 1~\to~e$$$$~~~t~~|~ 0~\to~1$$以上より、与式を①と②を用いて置換すると、$$~~~~~~ \int_{1}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}dx$$$$~=\int_{0}^{1}t^2dt$$$$~=\left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{1}{3}(1^3-0^3)$$$$~=\frac{1}{3}$$よって、答えは$$~~~\frac{1}{3}$$となります。

 

今回のまとめ

定積分の置換積分法は、\(t\) で置き換えるとき \(x\) の区間を \(t\) の区間に置き換えることを忘れないようにしましょう。

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