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定積分の置換積分法②

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今回の問題は「定積分の置換積分法②」です。

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$$$${\small (2)}~\int_{0}^{3}\frac{dx}{9+x^2}$$

 

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三角関数で置換する定積分

Point:三角関数で置換する定積分(1) \(a\sin{x}\) で置換する形

$$\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{a^2-x^2}dx$$

この式の形の定積分は、$$~~~t=a\sin{x}$$と置き換えると計算が楽になります。
 
(2) \(a\tan{x}\) で置換する形

$$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{a^2+x^2}$$

この式の形の定積分は、$$~~~t=a\tan{x}$$と置き換えると計算が楽になります。

 

問題解説:定積分の置換積分法②

問題解説(1)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$$

\(x=2\sin{t}~\cdots{\large ①}\) とし、両辺を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=2\cos{t}$$$$\hspace{ 12 pt}dx=2\cos{t}\cdot dt~\cdots{\large ②}$$ここで、\(x=0\) のとき、$$~~~2\sin{t}=0$$よって、\(t=0\) となります。
また、\(x=2\) のとき、$$~~~2\sin{t}=2$$$$~~~~~\sin{t}=1$$よって、\(t={\large \frac{\pi}{2}}\) となります。
したがって、$$~~~x~|~0~\to~2$$$$~~~t~~|~ 0~\to~\frac{\pi}{2}$$以上より、与式を①、②を用いて置換すると、$$~~~~~~\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx$$$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}\sqrt{4-4\sin^2{t}}\cdot 2\cos{t} dt$$$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}2\sqrt{1-\sin^2{t}}\cdot 2\cos{t} dt$$相互関係の公式より、$$~ =\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}2\cos{t}\cdot 2\cos{t} dt$$$$~ =\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}4\cos^2{t} dt$$ここで、半角の公式より$$~~~\cos^2{t}=\frac{1+\cos{2t}}{2}$$これを用いると、$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}4\cdot\frac{1+\cos{2t}}{2}dt$$$$~ =\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}2(1+\cos{2t}) dt$$$$~= 2\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}dt+2 \int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}\cos{2t}dt$$$$~=2{\large [} t {\large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}+2\left[ \sin{2t}\cdot\frac{1}{(2t)’} \right]_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}$$$$~= 2{\large [} t {\large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}+{\large [} \sin{2t} {\large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}$$$$~=2\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)+(\sin{\pi}-\sin{0})$$$$~=\pi+(0-0)$$$$~=\pi$$よって、答えは \(\pi\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int_{0}^{3}\frac{dx}{9+x^2}$$

\(x=3\tan{t}~\cdots{\large ①}\) とし、両辺を \(t\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{dx}{dt}=3\frac{1}{\cos^2{t}}$$$$\hspace{ 12 pt}dx=\frac{3}{\cos^2{t}}dt~\cdots{\large ②}$$ここで、\(x=0\) のとき、$$~~~3\tan{t}=0$$よって、\(t=0\) となります。
また、\(x=3\) のとき、$$~~~3\tan{t}=3$$$$~~~~~\tan{t}=1$$よって、\(t={\large \frac{\pi}{4}}\) となります。
したがって、$$~~~x~|~0~\to~3$$$$~~~t~~|~ 0~\to~\frac{\pi}{4}$$以上より、与式を①、②を用いて置換すると、$$~~~~~~ \int_{0}^{3}\frac{dx}{9-x^2}$$$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{4}}}\frac{1}{9+9\tan^2{t}}\cdot\frac{3}{\cos^2{t}}dt$$$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{4}}}\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1+\tan^2{t}}\cdot\frac{3}{\cos^2{t}}dt$$ここで、相互関係の公式より、$$~~~1+\tan^2{t}=\frac{1}{\cos^2{t}}$$逆数をとると、$$~~~\frac{1}{1+\tan^2{t}}=\cos^2{t}$$これを用いると、$$~= \int_{0}^{{\large \frac{\pi}{4}}}\frac{1}{9}\cos^2{t}\cdot\frac{3}{\cos^2{t}}dt$$$$~= \int_{0}^{{\large \frac{\pi}{4}}}\frac{1}{3}dt$$$$~=\left[ \frac{1}{3}t \right]_{0}^{{\large \frac{\pi}{4}}}$$$$~=\frac{1}{3}\left( \frac{\pi}{4}-0 \right)$$$$~=\frac{\pi}{12}$$よって、答えは$$~~~\frac{\pi}{12}$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数で置換する定積分は、式の形と置き換え方が重要となります。問題より、すぐに判断できるようになりましょう。

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