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偶関数と奇関数の定積分

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今回の問題は「偶関数と奇関数の定積分」です。

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{2} (x^4+2x^3+3x^2+4x+5)dx$$$${\small (2)}~\int_{-{\large \frac{\pi}{2}}}^{{\large \frac{\pi}{2}}}(\sin{x}+\cos{x})dx$$

 

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偶関数と奇関数の定積分

Point:偶関数と奇関数の定積分(1) \(f(-x)=f(x)\) が成り立つとき、\(f(x)\) を偶関数といいます。
このとき、

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$$

\(y\) 軸対称なので、片側の区間を求めて2倍すれば求まります。
 
(2) \(f(-x)=-f(x)\) が成り立つとき、\(f(x)\) を奇関数といいます。
このとき、

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

原点対称となるので、積分結果は \(0\) となります。

 

問題解説:偶関数と奇関数の定積分

問題解説(1)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{2} (x^4+2x^3+3x^2+4x+5)dx$$

\(x^4~,~3x^2~,~5\) は偶関数であり、
\(2x^3~,~4x\) は奇関数であるので、$$~~~~~~ \int_{-2}^{2} (x^4+2x^3+3x^2+4x+5)dx$$$$~=2\int_{0}^{2}(x^4+3x^2+5)dx$$$$~=2\left[ \frac{1}{5}x^5+x^3+5x \right]_{0}^{2}$$$$~=2\left( \frac{1}{5}\cdot2^5+2^3+5\cdot2\right)$$$$~=2\left( \frac{32}{5}+8+10 \right)$$$$~=2\cdot\frac{32+40+50}{5}$$$$~=2\cdot\frac{122}{5}$$$$~=\frac{244}{5}$$よって、答えは$$~~~\frac{244}{5}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int_{-{\large \frac{\pi}{2}}}^{{\large \frac{\pi}{2}}}(\sin{x}+\cos{x})dx$$

\(\sin{x}\) は奇関数、\(\cos{x}\) は偶関数であるので、$$~~~~~~ \int_{-{\large \frac{\pi}{2}}}^{{\large \frac{\pi}{2}}}(\sin{x}+\cos{x})dx$$$$~=2\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}\cos{x}dx$$$$~=2{\Large [} \sin{x} {\Large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}$$$$~=2\left(\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{0}\right)$$$$~=2(1-0)$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。

 

今回のまとめ

偶関数と奇関数の定積分は、計算が非常に楽になります。公式が使えるかどうかは、条件を調べて判断しましょう。

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